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Fakultät für Mathematik

Karlsruher Institut für Technologie
D-76128 Karlsruhe
Tel.: +49 721 608-43800

Quasi-lokale effektive Materialmodelle und ihr Zusammenhang zur Theorie der elliptischen Homogenisierung

Referent: Dr. Dietmar Gallistl (IANM, KIT)
Ort: Kollegiengebäude Mathematik, Englerstraße 2, Seminarraum 1.067
Termin: 27.6.2017, 17:30 Uhr
Gastgeber: Prof. W. Dörfler

Zusammenfassung

Zuverlässige numerische Simulationen von physikalischen Modellen mit heterogenen Materialien erfordern häufig diskrete Modelle, die aufgrund ihrer hohen Komplexität selbst mit modernen Rechnern nicht zu bewerkstelligen sind. Beispiele hierfür sind Erdschichten, Verbundstoffe oder Metamaterialien. Für einen Diskretisierungsfehler der Ordnung H ist eine Auflösung auf der charakteristischen Längenskala $h$ des Materials mit h<<H erforderlich. Das Ziel von Mehrskalenmethoden ist, die Komplexität der numerischen Rechnung zu reduzieren und ein diskretes Modell auf der Zielskala H zu formulieren, das stabil ist und die gewünschten Approximationseigenschaften besitzt.
Der Vortrag diskutiert ein Verfahren zur numerischen Homogenisierung von Diffusionskoeffizienten mit Mehrskalencharakter unter minimalen Auflösungsbedingungen. Ein wesentlicher Aspekt ist, dass sich die Methode, die ursprünglich problemangepasste Basisfunktionen verwendet, äquivalent als Standard-Finite-Elemente-System auffassen lässt.
In diesem Fall besitzt das diskrete effektive Modell nicht mehr eine Darstellung als Diskretisierung einer Differentialgleichung, vielmehr wird es durch einen (nichtlokalen) diskreten Integraloperator beschrieben. Im Falle separierter Skalen lässt sich hieraus ein effektiver Diffusionstensor rekonstruieren, der im periodischen Fall mit dem klassischen Homogenisierungslimes übereinstimmt.
Neben der Fehleranalyse und numerischen Beispielen gibt der Vortrag einen Ausblick auf die Anwendung in der stochastischen Homogenisierung.