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Fakultät für Mathematik

Karlsruher Institut für Technologie
D-76128 Karlsruhe
Tel.: +49 721 608-43800

Eigenwertprobleme auf komplizierten Gebieten (Sommersemester 2017)

Dozent: PD Dr. Andrii Khrabustovskyi
Veranstaltungen: Vorlesung (0163800), Übung (0163810)
Semesterwochenstunden: 2+1


AKTUELL

5.9.2017, 10:00 Uhr

Termine
Vorlesung: Mittwoch 11:30-13:00 SR 3.68
Übung: Freitag 8:00-9:30 SR 3.68
Dozenten
Dozent, Übungsleiter PD Dr. Andrii Khrabustovskyi
Sprechstunde: nach Vereinbarung
Zimmer 3.037 Kollegiengebäude Mathematik (20.30)
Email: andrii.khrabustovskyi@kit.edu

Die Vorlesung behandelt spektrale Eigenschaften von Differentialoperatoren auf Gebieten mit sehr komplizierter Geometrie (siehe Bilder). Unsere Werkzeuge sind die Methoden der asymptotischen Analyse und Störungstheorie, die es ermöglichen, diese komplizierte Probleme zu vereinfachen.

Im ersten Teil der Vorlesungen behandeln wir einige abstrakte Themen:

  • Verschiedene Arten von Resolventenkonvergenz und deren Eigenschaften.
  • Spektrale Konvergenz
  • Konvergenz auf variierenden Hilberträumen.
  • Minimum-Maximum-Prinzip und deren Anwendungen.

Im zweiten Teil wenden wir diese Verfahren für das Hauptobjekt unseres Interesses - Eigenwertprobleme auf Gebieten mit komplizierter Geometrie an. Die folgende Themen werden behandelt:

  • Eigenwertprobleme auf variierenden Gebieten: allgemeine Resultate.
  • Laplace-Operator auf einem Gebiet mit einem Loch. Kapazität.
  • Homogenisierung auf perforierten Gebieten.
  • Eigenwertprobleme auf dünnen Gebieten. Dumbbell-förmige Gebieten. Quantengraphen.

Vorkenntnisse: Grundkenntnisse in Funktionalanalysis (Banach- und Hilberträume, lineare Operatoren, schwache und starke Konvergenz, uzw.) und Partiellen Differentialgleichungen (Sobolev-Räume, schwache Lösungen, uzw.)


Literaturhinweise

Bücher

  • T.Kato, Perturbation Theory for Linear Operators, Springer-Verlag, Berlin, 1995 (oder früheren Ausgaben)
    (Resolventenkonvergenz; spektrale Konvergenz; klassische Störungstheorie)
  • M.Reed, B.Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Academic Press, New York - San Francisco - London, 1978.
    (Minimum-Maximum-Prinzip)
  • O.Post, Spectral analysis on graph-like spaces. Lecture Notes in Mathematics, 2039. Springer, Heidelberg, 2012
    (dünne Gebieten; konvergenz auf variierenden Hilberträumen)

Articles

  • J.Rauch, M.Taylor, Potential and scattering theory on wildly perturbed domains, J. Funct. Anal. 18 (1975), 27-59.
    (Gebiet mit Löcher; Kapazität; Homogenisierung auf perforierten Gebieten)
  • P.Exner, O.Post, Convergence of spectra of graph-like thin manifolds, J. Geom. Phys. 54 (2005), no. 1, 77–115.
    O.Post, Spectral convergence of quasi-one-dimensional spaces, Ann. Henri Poincaré 7 (2006), no. 5, 933–973
    (dünne Gebieten; konvergenz auf variierenden Hilberträumen)
  • J.Arrieta, Neumann eigenvalue problems on exterior perturbations of the domain. J. Differential Equations 118 (1995), no. 1, 54–103.
    (dumbbell-förmige Gebieten)