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Department of Mathematics

Karlsruhe Institute of Technology
D-76128 Karlsruhe
Germany
Tel.: +49 721 608-43800

Research

List of Projects

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Schlüsseltechnologie Nanotechnologie

Nanotechnologie ist eine der Schlüsseltechnologien des 21. Jahrhunderts. Sie beschäftigt sich mit kleinsten Strukturen der Materie, mit Abmessungen von einigen Nanometern bis zu einigen hundert Nanometern, also von der Größe einiger Atome bis hin zu der Größe der Wellenlänge von Licht. Ein wichtiger Forschungszweig ist die Konstruktion neuer elektronischer und
photonischer Bauelemente auf dieser Größenskala. Ein photonisches Bauelement entspricht dabei einem elektronischen Bauelement, funktioniert aber nicht mit Elektronen, sondern mit Photonen, also mit Licht. Für die Elektronik und die sogenannte Photonik stehen neue Eigenschaften im Vordergrund, die durch die Verkleinerung der Ausdehnungen der Bauelemente bis in den Bereich von wenigen Nanometern entstehen. Durch Ausnutzen des Verhaltens von Elektronen und Photonen in diesen kleinen Strukturen lassen sich leistungsfähigere, billigere und zuverlässigere Bauelemente, wie Einheiten höchster Speicherdichte und Wellenleiter mit immer höheren Übertragungsrate, konstruieren. Daher sind die optischen Technologien nicht nur ein wichtiger Forschungszweig, sondern inzwischen ein bedeutender Wirtschaftsgelder in Deutschland mit hohen Wachstumsraten.

Bedarf an mathematischen Methoden

Der Einsatz mathematischer Methoden bei der Untersuchung nanotechnologischer Probleme ist aus den folgenden Gründen von großer Bedeutung.

  • Da die zugrundeliegenden physikalischen Vorgänge im Nanoskalenbereich ablaufen, sind experimentelle Messungen häufig nur schwer durchführbar. Daher spielt die numerische Simulation solcher Vorgänge eine fundamentale Rolle. Dazu ist es erforderlich, ein mathematisches Modell zu erstellen, das diese Vorgänge hinreichend genau beschreibt.
  • Um nanotechnologische Methoden wirtschaftlich nutzbar zu machen, gilt es, diese zu optimieren. Dies führt häufig auf hochdimensionale und schlechtgestellte Probleme, die nur mittels modernster Methoden der Theorie der Inversen Probleme gelöst werden können.
  • Wegen der zahlreichen auftretenden Skalen die Grundgleichungen der Physik häufig nicht direkt numerisch angegangen werden. Es werden dann vereinfachte daraus abgeleitete Modelle betrachtet. Nur so ist es möglich qualitative Aussagen über die Modelle (und die physikalischen Phänomene) zu gewinnen.
  • Da numerische Simulationen immer nur einzelne Anfangsbedingungen des Systems abdecken können, ist die Analysis der Gleichungen für ein Verständnis der Vorgänge unumgänglich.

Mathematische Fragestellungen

Das Graduiertenkolleg Analysis, Simulation und das Design von nanotechnologischen Prozessen verfolgt das Ziel, Modelle und Probleme der Nanotechnologie (vornehmlich der Optik und Photonik) mathematisch zu beschreiben, zu analysieren und zu lösen. Wie bereits in der ersten Phase der Kollegs wird ein interdisziplinärer Ansatz zu Grunde gelegt, der auf einer engen Zusammenarbeit mit assoziierten Mitgliedern und weiteren Partnern der Fakultäten für Physik und Elektrotechnik aufbaut.

Einige der erfolgreichen Themen aus der ersten Bewilligungsphase (Maxwell–Gleichungen, inverse Probleme, Optimierung, Floquet–Bloch Theorie) werden weitergeführt und ausgebaut. Hinzu kommen neue Projekte (Metamaterialien, “Slow Light”, Existenz und Stabilität stehender Wellen, Numerik der 3d Maxwell–Gleichungen), die aufgrund aktueller Entwicklungen sowohl in den Ingenieurwissenschaften als auch in der Mathematik aufgenommen und verfolgt werden. Die übergreifende Thematik der vorgeschlagenen Projekte ist die Untersuchung der zeitabhängigen Maxwell–Gleichungen sowie die daraus abgeleiteten Schrödinger– und Eigenwertgleichungen. Die Methoden entstammen der Analysis und Numerik partieller Differentialgleichungen und der mathematischen Modellierung.

Im Einzelnen werden folgende Projekte verfolgt:

  • P1 Spektraltheorie für Operatoren mit periodischem und gestört-periodischem Potential
  • P2 Nichtlineare Schrödinger–Gleichung auf periodischen und gestört-periodischen

Strukturen

  • P3 Inverse Streuprobleme für periodische Medien
  • P4 Effiziente Methoden zur numerischen Approximation der Maxwell–Gleichungen
  • P5 Simulation und Design von Bauteilen und Metamaterialien in der Nanotechnologie

Der Standort Karlsruhe

Das Karlsruhe Institute of Technology bietet für ein solches Graduiertenkolleg mit dem Karlsruher Centrum für Funktionelle Nanostrukturen (CFN) und den zahlreichen Forschungsaktivitäten auf diesem Gebiet eine optimale Umgebung.

Das Studienprogramm

Die beteiligten Wissenschaftler (Mathematik) stammen aus den Bereichen Analysis Partieller Differentialgleichungen, Inverse Probleme und Wissenschaftliches Rechnen. Durch die Komplexität zahlreicher Projekte wird Fachwissen aus mehr als einem der Gebiete Analysis, Simulation und Inverse Probleme benötigt, was eine Kooperation der beteiligten Wissenschaftler dringend notwendig macht. Die Basisausbildung der Kollegiat(inn)en ist durch bereits vorhandene Ausbildungsstrukturen ausgezeichnet gewährleistet. Alle benötigten grundlegenden Mathematikvorlesungen der Analysis, der Inversen Probleme und des wissenschaftlichen Rechnens sind Bestandteile des Studienprogramms der Diplomstudiengänge Mathematik, Wirtschaftsmathematik und Technomathematik, des Lehramtsstudiengangs und des englischsprachigen Masterstudienganges Mathematik. Dies wird auch nach Umstellung der Diplomstudiengänge auf Bachelor-/Masterstudiengänge der Fall sein. Die benötigten grundlegenden Vorlesungen der Elektrotechnik und Physik sind regelmäßiger Bestandteil des Studienangebotes dieser Fächer. Darüber hinaus verfolgt die Kollegausbildung das Ziel, das in der Basisausbildung erworbene Wissen durch das für das Forschungsvorhaben benötigte Spezialwissen zu ergänzen. Um die Selbständigkeit der Kollegiat(inn)en zu fördern, sollen diese in kleinen Arbeitsgruppen das benötigte Fachwissen gemeinsam erarbeiten und im Kollegseminar darstellen. Workshops mit auswärtigen Dozenten sollen sicherstellen, dass das Kolleg in die internationale Forschungslandschaft fest eingebunden ist. Diesem Zweck dienen auch Auslandsaufenthalte der Kollegiat(inn)en bei den internationalen Forschungspartnern.