Seminar/Proseminar (Lie-Gruppen und Lie-Algebren) (Wintersemester 2011/12)

Dozent:	HDoz. Dr. Oliver Baues
Veranstaltungen:	Proseminar (0120200)
Semesterwochenstunden:	2

Der Aushang zum (Pro)Seminar.

Bei einer Lie-Gruppe handelt es sich um eine Gruppe, deren Gruppenverknüpfungen differenzierbare Abbildungen sind. Wichtige Beispiele hierfür sind die aus der linearen Algebra bekannten Matrixgruppen $\mathbf{GL}_n(\mathbb{K})$ , $\mathbf{SL}_n(\mathbb{K})$ , $\mathbf{O}_n(\mathbb{K})$ , $\mathbf{U}_n$ , wobei $\mathbb{K}$ der Körper $\mathbb{R}$ oder $\mathbb{C}$ ist. Zu jeder Lie-Gruppe $G$ gehört eine Lie-Algebra $\mathfrak{g}$ . Dabei handelt es sich um einen Vektorraum zusammen mit einem alternierenden bilinearen Produkt $[\cdot,\cdot]:\mathfrak{g}\times\mathfrak{g}\rightarrow\mathfrak{g}$ , das der Jacobi-Identität genügt. Im Falle einer Matrixgruppe $G$ ist $\mathfrak{g}$ die Menge derjenigen Matrizen $X$ , für die $\exp(X)\in G$ gilt. Das Lie-Produkt ist in diesem Fall das Kommutatorprodukt $[X,Y]=XY-YX$ von Matrizen.

In diesem Seminar wollen wir zunächst die grundlegenden Eigenschaften von Matrixgruppen, topologischen Gruppen und Lie-Algebren studieren. Insbesondere werden wir dabei die Korrespondenz zwischen Matrixgruppen und Lie-Algebren untersuchen. Danach werden wir Lie-Algebren ihren algebraischen Eigenschaften nach in auflösbare und halbeinfache Lie-Algebren einteilen und die Eigenschaften dieser beiden Klassen genauer untersuchen.

Termine
Proseminar:	Donnerstag 11:30-13:00	1C-03

Dozenten
Seminarleitung	HDoz. Dr. Oliver Baues
	Sprechstunde: Nach Vereinbarung.
	Zimmer 4A-03 Allianz-Gebäude (05.20)
	Email: baues@math.uni-karlsruhe.de
Seminarleitung	Dr. Wolfgang Globke
	Sprechstunde: Wann immer ich da bin (oder nach Vereinbarung).
	Zimmer 4A-05 Allianz-Gebäude (05.20)
	Email: Wolfgang.Globke@math.uni-karlsruhe.de

Vortragsliste

Als PDF.

Teil I: Grundlagen

Jordan-Zerlegung und Iwasawa-Zerlegung (Tristan Schnell, 27.10.2011)
Lie-Algebren (Katrin Müller, 3.11.2011)
Lineare Lie-Gruppen (Franziska Scheib, 10.11.2011)
Lie-Algebra und Exponentialabbildung einer linearen Lie-Gruppe (Jasmin Eckler, 17.11.2011)
Allgemeine Lie-Gruppen (Michael Seiberlich, 24.11.2011)

Teil II: Struktur von Lie-Algebren

Die Sätze von Lie und Engel (???, 1.12.2011)
Halbeinfache Lie-Algebren (Marc Weber, 8.12.2011)
$\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})$ , Teil I (Lennart Piro, 12.1.2012)
$\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})$ , Teil II (Manuel Schweigert, 19.1.2012)

Teil III: Kompakte Lie-Gruppen

Tori und Darstellungen kompakter Gruppen (Matthias Reimchen, 26.1.2012)
Kompakte Gruppen und Peter-Weyl-Theorem, Teil I (Andreas Boppré, 2.2.2012)
Kompakte Gruppen und Peter-Weyl-Theorem, Teil II (Julian Ott, 9.2.2012)

Literaturhinweise

Als PDF.

O. Baues, W. Globke: Lie Groups and Lie Algebras Vorlesungsskript
E. Brieskorn: Lineare Algebra Bd. 2, Vieweg 1985
T. Bröcker, T. tom Dieck: Representations of compact Lie groups, Springer 1985
D. Bump: Lie Groups, Springer 2004
J. Duistermaat, J. Kolk: Lie Groups, Springer 2000
W. Fulton, J. Harris: Representation Theory, Springer 1996
B. Hall: Lie Groups, Lie Algebras and Representations, Springer 2003
N. Jacobson: Lie Algebras, Dover 1979
A. Knapp: Lie Groups, Lie Algebras and Cohomology, Princeton UP 1988
A. Knapp: Lie Groups Beyond an Introduction, Birkhäuser 2002
E. Leuzinger: Homogeneous and Symmetric Spaces, Vorlesungsskript
V.S. Varadarajan: Lie Groups, Lie Algebras and Their Representations, Springer 1984