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Arbeitsgruppe Zahlentheorie und Algebraische Geometrie

Sekretariat
Kollegiengebäude Mathematik (20.30)
Zimmer 1.027

Adresse
Englerstraße 2, 76131 Karlsruhe

Öffnungszeiten:
Mo - Fr, 9.15 - 11.45

Tel.: 0721 608 43041

Fax.: 0721 608 44244

Geometrische Gruppentheorie (Sommersemester 2014)

Dozent: JProf. Dr. Gabriela Weitze-Schmithüsen
Veranstaltungen: Vorlesung (0153300), Übung (0153400)
Semesterwochenstunden: 4+2


Termine
Vorlesung: Dienstag 11:30-13:00 Z 1
Donnerstag 11:30-13:00 Z 1
Übung: Mittwoch 15:45-17:15 Z 1
Dozenten
Dozentin, Übungsleiterin JProf. Dr. Gabriela Weitze-Schmithüsen
Sprechstunde: keine Sprechstunde in diesem Semester
Zimmer 1.033 Kollegiengebäude Mathematik (20.30)
Email: weitze-schmithuesen@kit.edu
Übungsleiter Dr. Björn Mützel
Sprechstunde: Mo - Fr, 14 - 16 Uhr
Zimmer 4B-03 Allianz-Gebäude (05.20)
Email: bjoern.muetzel@kit.edu

Begleitend zur Vorlesung findet jeden Freitag von 9:45 - 11:15 Uhr bei Sven Caspart ein Tutorium im Seminarraum Z2 statt.

Informationsblatt und Übungsaufgaben

Informationsblatt infoblatt_14.pdf
Übungsblatt 1 blatt_01_14.pdf
Übungsblatt 2 blatt_02_14.pdf
Übungsblatt 3 blatt_03_14.pdf
Übungsblatt 4 blatt_04_14.pdf
Übungsblatt 5 blatt_05_14.pdf
Übungsblatt 6 blatt_06_14.pdf
Übungsblatt 7 blatt_07_14.pdf (Doppelblatt)
Übungsblatt 8 blatt_08_14.pdf
Übungsblatt 9 blatt_09_14.pdf (neu)
Übungsblatt 10 blatt_10_14.pdf
Übungsblatt 11 blatt_11_14.pdf
Übungsblatt 12 blatt_12_14.pdf

Zum Inhalt der Vorlesung

Die geometrische Gruppentheorie schafft eine interessante Querverbindung zwischen Gruppentheorie und Geometrie. Ihr Ziel ist es, Gruppen mittels geometrischer Methoden zu untersuchen. Dazu verfolgt man folgende zwei Ansätze:

  • Man betrachtet, wie die Gruppe auf einem geeigneten geometrischen Raum operiert.
  • Man betrachtet die Gruppe selbst als geometrischen Raum.

Ein erstes Beispiel ist der Cayley-Graph der Gruppe bezüglich eines Erzeugendensystems. Seine Ecken sind die Gruppenelemente und die Kanten werden durch die Erzeuger beschrieben. Dadurch wird die Gruppe zu einem metrischen Raum, auf dem sie selbst in natürlicher Weise operiert. Ein anderes typisches Beispiel sind sogenannte Fuchssche Gruppen, d.,h. diskrete Untergruppen der Matrizengruppe SL(2,\mathbb{R}), die auf der oberen Halbebene als Isometrien bezüglich der Poincaré-Metrik operieren. Ein prominentes Beispiel aus der jüngeren Mathematik ist der Culler-Vogtmann-Outerspace \mathrm{CV}_n von 1989, ein Klassifikationsraum für endliche Graphen von Geschlecht g mit einer speziellen Zusatzstruktur, auf dem die Automorphismengruppe der freien Gruppe F_n operiert. Aus allerjüngster Zeit (2012) stammt das Theorem von Ian Agol, ein Durchbruch in dem Gebiet, das die geometrische Gruppentheorie revolutionierte. Mit seiner Hilfe konnten für eine ganze Reihe von Vermutungen zu Dreimannigfaltigkeiten die Beweise zu einem Abschluss gebracht werden.

Die Vorlesung gibt eine Einführung in die Geometrische Gruppentheorie. Wir lernen Cayley-Graphen kennen, Quasi-Isometrien und Geometrie aus der Ferne, und als einen Höhepunkt den Satz von Schwartz-Milnor, der geometrische Eigenschaften einer Gruppe mit denen eines Raums, auf dem sie gutartig operiert, zusammenbringt.

Die Vorlesung richtet sich an Studierende im Bachelor und Master Mathematik. Mit den algorithmischen Aspekten der Geometrischen Gruppentheorie kann sie auch für Studierende der Informatik eine interessante Ergänzung sein. Mit ihren geometrischen Inhalten richtet sie sich auch besonders an Studierende des Lehramts.

Empfohlene Voraussetzungen

Die Inhalte des Moduls "Einführung in Geometrie und Topologie" werden benötigt. Das Modul "Einführung in Algebra und Zahlentheorie" ist hilfreich.

Unvollständiges Skript zur Vorlesung

Skript

Interessante Links

Hatcher / The Farey diagram

Sonstiges

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Prüfung

Die Vorlesung wird mündlich geprüft.
Prüfungstermine sind: Donnerstag, 21. August, Freitag, 22. August, Donnerstag, 16. Oktober und Freitag 17. Oktober.
Bitte wenden Sie sich an Frau Weitze-Schmithüsen, um einen Prüfungstermin zu vereinbaren.