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Fakultät für Mathematik

Karlsruher Institut für Technologie
D-76128 Karlsruhe
Tel.: +49 721 608-43800

Geometrische Gruppentheorie (Wintersemester 2010/11)

Dozent: Prof. Dr. Frank Herrlich
Veranstaltungen: Vorlesung (1028), Übung (1029)
Semesterwochenstunden: 4+2
Hörerkreis: Mathematik (alle Studiengänge) (ab 5. Semester)


Die Vorlesung gibt eine Einführung in geometrische Methoden zur Untersuchung von Gruppen.

Termine
Vorlesung: Dienstag 8:00-9:30 AOC 201 Beginn: 19.10.2010
Donnerstag 8:00-9:30 AOC 201
Übung: Montag 14:00-15:30 Z 2
Dozenten
Dozent Prof. Dr. Frank Herrlich
Sprechstunde: nach Vereinbarung (am besten per E-Mail)
Zimmer 1.029 Kollegiengebäude Mathematik (20.30)
Email: herrlich@kit.edu
Übungsleiter Dr. Diego De Filippi
Sprechstunde:
Zimmer Allianz-Gebäude (05.20)
Email: diegoist@web.de

Inhalt

Das erste geometrische Objekt zu einer Gruppe ist ihr Cayley-Graph. Zu seiner Definition benötigt man außer der Gruppe auch noch ein System von Erzeugern. Es soll dann untersucht werden, wie sich der Cayley-Graph beim Übergang zu einem anderen System von Erzeugern ändern kann.
Jede Gruppe operiert in natürlicher Weise auf ihren Cayley-Graphen. Allgemeiner kann man aus einer Aktion einer Gruppe auf einem Graphen Informationen über ihre Struktur erhalten. Das geht besonders gut, wenn der Graph ein Baum ist (Bass-Serre-Theorie).
Noch allgemeiner kann man diskontinuierliche Aktionen von Gruppen auf Mannigfaltigkeiten studieren. Ein Höhepunkt dieser Theorie (und gleichzeitig der Vorlesung) ist der Satz von Milnor und Svarc.
Eine interessante Klasse von Gruppen sind die hyperbolisc

hen Gruppen, die durch bestimmte metrische Eigenschaften ihres Cayley-Graphen beschrieben werden. So ist beispielsweise das Wortproblem in hyperbolischen Gruppen stets lösbar, sogar in linearer Zeit.

Vorkenntnisse

An algebraischen Vorkenntnissen wird das vorausgesetzt, was in Algebra I über Gruppen vorkommt.
Topologische Grundkenntnisse sind hilfreich, werden aber nicht vorausgesetzt. Gegebenenfalls empfiehlt es sich, die Vorlesung "Einführung in Geometrie und Topologie" parallel zu hören.


Aktuelles zur Geometrischen Gruppentheorie

findet man auf der Seite des Forschungsschwerpunkts Geometrische Gruppentheorie an unserer Fakultät. Unter anderem gibt es dort in jedem Monat ein ungelöstes Problem. Hier ist das für Januar.

Prüfung

Über die Vorlesung kann eine mündliche Prüfung abgelegt werden (Gebiet "Algebra/Geometrie" bzw. "Reine Mathematik").

Hier sind die Übungsblätter:

Übungsblatt 1 Lösungen zu Übungsblatt 1
Übungsblatt 2
Übungsblatt 3 korrigierte Lösung zur Aufgabe 4
Übungsblatt 4
Übungsblatt 5 Lösungen zu Übungsblatt 5
Übungsblatt 6
Übungsblatt 7
Übungsblatt 8 Lösungen zu Übungsblatt 8, Aufgabe 3a und b
Übungsblatt 9
Übungsblatt 10 Lösungen zu Übungsblatt 10
Übungsblatt 11 Lösungen zu Übungsblatt 11, Aufgabe 4
Übungsblatt 12
Übungsblatt 13
Übungsblatt 14 Lösungen zu Übungsblatt 14

Quasi-Isometrien