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Arbeitsgruppe Zahlentheorie und Algebraische Geometrie

Sekretariat
Kollegiengebäude Mathematik (20.30)
Zimmer 1.027

Adresse
Englerstraße 2, 76131 Karlsruhe

Öffnungszeiten:
Mo - Fr, 9.15 - 11.45

Tel.: 0721 608 43041

Fax.: 0721 608 44244

Riemannsche Flächen (Sommersemester 2013)

Dozent: Dr. Florian Nisbach
Veranstaltungen: Vorlesung (0167000)
Semesterwochenstunden: 4


Achtung:
Die Vorlesung fällt wegen Krankheit am Freitag den 26. April aus.

Termine
Vorlesung: Mittwoch 8:00-9:30 Z2 (Geb. 1.85) Beginn: 24.4.2013, Ende: 19.7.2013
Freitag 9:45-11:15 Z2 (Geb. 1.85)

Dies ist ein erster Plan für den Inhalt der Vorlesung, selbstverständlich ohne Gewähr.

Das erste große Thema wird die Uniformisierungstheorie sein. Deren Hauptresultat besagt, dass jede (!) Riemannsche Fläche der Quotient von \mathbb{C},\mathbb{H} oder \mathbb{P}^1(\mathbb{C}) nach einer diskreten Gruppe von Automorphismen ist. Bis auf den großen Riemannschen Abbildungssatz kennen wir die funktionentheoretischen Zutaten zu dessen Beweis schon aus dem Wintersemester und müssen hauptsächlich ein bisschen Überlagerungstheorie lernen. Da in einem gewissen Sinne die meisten interessanten Riemannschen Flächen Quotienten von \mathbb{H} sind, werden wir danach etwas hyperbolische Geometrie lernen und uns mit Fuchsschen Gruppen beschäftigen. Ein erstaunlich einfacher Beweis des kleinen Satzes von Picard könnte dieses Kapitel abrunden.

Danach werden wir uns mit Garben und Vektorbündeln auf Riemannschen Flächen beschäftigen und so eine konzeptionellere Sicht auf Differentialformen bekommen. Nachdem wir uns etwas mit Garbenkohomologie und Serre-Dualität beschäftigt haben, können wir den Satz von Riemann-Roch angehen, der nicht nur hier, sondern auch in der Theorie algebraischer Kurven von zentraler Bedeutung ist. Dementsprechend werden wir einige Anwendungen kennenlernen und so zum Beispiel lernen, was Weierstraß-Punkte sind. Eine endgültige Beantwortung der Frage, welche Divisoren auf kompakten Riemannschen Flächen von meromorphen Funktionen herkommen, wird der Satz von Abel liefern, der dann auch gleich die Tür in die Welt der Jacobivarietäten aufstößt.

Wie es danach weitergeht, hängt von den Interessen der Teilnehmer ab. Wir könnten zum Beispiel die Konstruktion des Modulraums \mathcal{M}_g der kompakten Riemannschen Flächen von Geschlecht g skizzieren oder uns mit dessins d'enfants beschäftigen.

Literaturhinweise

  • Otto Forster: Riemannsche Flächen Heidelberger Taschenbücher 184, Springer 1977. – Ein Klassiker, um den auch wir nicht herumkommen werden.
  • Klaus Lamotke: Riemannsche Flächen Springer 2005. – Ein recht neues, ansprechend geschriebenes Lehrbuch, das die allermeisten der behandelten Themen abdeckt.
  • Ernesto Girondo, Gabino Gonzalález-Diez: Introduction to Compact Riemann Surfaces and Dessins d'Enfants LMS Student Texts 79, Cambridge University Press, 2012. – Dieses blaue Buch fasst knapp die wichtigen Definitionen und Ergebnisse für kompakte Riemannsche Flächen sowie den Zusammenhang mit komplex-algebraischen Kurven zusammen, um sich dann Kinderzeichnungen und dem Satz von Belyi zuzuwenden.
  • Hershel Farkas, Irwin Kra: Riemann Surfaces Graduate Texts in Mathematics 71, Springer 1979. – Ein weiteres Lehrbuch, das einen Großteil des behandelten Stoffs abdeckt.