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Arbeitsgruppe Zahlentheorie und Algebraische Geometrie

Sekretariat
Kollegiengebäude Mathematik (20.30)
Zimmer 1.027

Adresse
Englerstraße 2, 76131 Karlsruhe

Öffnungszeiten:
Mo - Fr, 9.15 - 11.45

Tel.: 0721 608 43041

Fax.: 0721 608 44244

Seminar p-adische Analysis und der Satz von Dwork (Sommersemester 2019)

Dozent: PD Dr. Fabian Januszewski
Veranstaltungen: Seminar (0123400)
Semesterwochenstunden: 4
Hörerkreis: Mathematik BA/MA/Lehramt, Informatik BA/MA (5.-10. Semester)

Wir werden uns mit dem Zählen von Lösungen von Polynomgleichungen über endlichen Körpern beschäftigen. Hierzu werden wir p-adische Methoden entwickeln und auf unsere Zählprobleme anwenden.


Kursiver Text

Termine
Seminar: Mittwoch 9:45-11:15 20.30 SR -1.017 (UG) Beginn: 24.4.2019
Dozenten
Seminarleitung PD Dr. Fabian Januszewski
Sprechstunde: jederzeit wenn ich da bin.
Zimmer 1.023 Kollegiengebäude Mathematik (20.30)
Email: januszewski@kit.edu
Seminarleitung MSc Fabian Ruoff
Sprechstunde: (fast) immer, wenn ich da bin
Zimmer 1.025 Kollegiengebäude Mathematik (20.30)
Email: fabian.ruoff@kit.edu

Aushang: findet sich hier.

Voraussetzungen: Wir setzen lediglich die Einführung in Algebra und Zahlentheorie voraus.

Vorbesprechung: findet am Mittwoch, den 6. Februar 2019 um 13:15 im SR 2.66 statt.

Literatur: Hauptquelle ist Neil Koblitz' Buch "p-adic numbers, p-adic analysis and zeta-functions" (Ko). Wir werden uns mit den Kapiteln I, III, IV und V beschäftigen. Weitere Quelle für die ersten Kapitel ist Neukirchs "Algebraische Zahlentheorie" (Neu).

Programm

1. Normen auf den rationalen Zahlen (Ko, S. 1-7)
Abschnitte I.1 und I.2 in (Ko): Bestimmung aller Normen auf \mathbb Q. Dies führt zum archimedischen Absolutbetrag und zu den p-adischen Absolutbeträgen. Alternativquelle: (Neu) Abschnitt II.3 und Beginn von Abschnitt II.4.

2. p-adische Zahlen (Ko, S. 10-14)
Abschnitt I.4 in (Ko): Definition von {\mathbb Q}_p und {\mathbb Z}_p als Komplettierungen. Alternativquelle: (Neu) Abschnitte II.1 und II.2.

3. Körpererweiterungen und endliche Körper (Ko, S. 52-57)
Abschnitt III.1 in (Ko): Grundlagen ueber allgemeine Körpererweiterungen, Struktur endlicher Körper.

4. Fortsetzung von Bewertungen auf endliche Erweiterungen (Ko, S. 57-65)
Abschnitt III.2 in (Ko), siehe auch Theoreme 4.8 und 4.9 in Abschnitt II.4 in (Neu).

5. Das Henselsche Lemma (Ko, S. 14-20)
Abschnitt I.5 in (Ko): Heben von Nullstellen modulo p. Koblitz betrachtet lediglich den Fall {\mathbb Q}_p, In Neukirchs (Neu) (Lemma 4.6) findet sich die allgemeine Aussage mit dem allgemeinen Beweis, wobei auch Koblitz' Beweis einfach zu verallgemeinern ist.

6. Motivation und Konstruktion von \Omega_p (Ko, S. 65-74)
Abschnitt III.3 in (Ko): verzweigte und unverzweigte Erweiterungen, Krasnersches Lemma und Konstruktion eines algebraisch abgeschlossenen und vollständigen Körpers über \mathbb Q_p.

7. Elementare Potenzreihen über \Omega_p (Ko, S. 75-80)
Abschnitt IV.1 in (Ko), allerdings ohne Seiten 81-82: Einführung in p-adische Potzenreihen, Definition des p-adischen Logarithmus und der p-adischen Exponentialfunktion. Siehe auch Satz 5.5 in Abschnitt II.5 (Neu).

8. Artin-Hasse-Exponential-Funktion (Ko, S. 81-89)
Abschnitt IV.2 in (Ko), allerdings mit dem Ende von Abschnitt IV.1.

9. Newtonpolygone (Ko, S. 89-93)
Abschnitt IV.3 und den Beginn von Abschnitt IV.4 in (Ko) (Ende mit dem Beweis von Lemma 5). Siehe auch Satz 6.3 in Abschnitt II.6 in (Neu).

10. Weierstraß'scher Vorbereitungssatz (p-adisch) (Ko, S. 94-100)
Rest des Abschnittes IV.4 in (Ko).

11. Einführung in die Problemstellung (Ko, S. 101-107)
Abschnitt V.1 in (Ko): Definition der Zeta-Funktion und der Satz von Dwork.

12. Hebungen von Charakteren (Ko, S. 106-110)
Ausgewälte Aufgaben aus Abschnitt V.1 und Abschnitt V.2 in (Ko): Relationen fuer Zeta-Funktionen allgemeiner affiner Varietäten (Ex. 4), sowie Exercise 6.

13. Eine lineare Abbildung (Ko, S. 110-114)
Abschnitt V.3 in (Ko).

14. p-adische Fassung der Zetafunktion & das Ende des Beweises (Ko, S. 115-120)
Abschnitte V.4 und V.5 in (Ko).