Home | english | Impressum | Sitemap | Intranet | KIT
Arbeitsgruppe Zahlentheorie und Algebraische Geometrie

Sekretariat
Kollegiengebäude Mathematik (20.30)
Zimmer 1.027

Adresse
Englerstraße 2, 76131 Karlsruhe

Öffnungszeiten:
Mo - Fr, 9.15 - 11.45

Tel.: 0721 608 43041

Fax.: 0721 608 44244

Seminar: Die stabile Homologie der Abbildungsklassengruppe (Sommersemester 2013)

Dozent: JProf. Dr. Gabriela Weitze-Schmithüsen
Veranstaltungen: Seminar (0171900)
Semesterwochenstunden: 2
Hörerkreis: Mathematik, Informatik (ab 4. Semester)

Wir möchten eine Aussage über die Kohomologie der Abbildungsklassengruppe, den Stabilitätssatz von Harer beweisen.


Das Seminar findet Dienstags um 14 Uhr statt, ab dem 2. Juli im 1C-02 (Allianzgebäude).

Termine
Seminar: Dienstag 14:00-15:30
Dozenten
Seminarleitung JProf. Dr. Gabriela Weitze-Schmithüsen
Sprechstunde: keine Sprechstunde in diesem Semester
Zimmer 1.033 Kollegiengebäude Mathematik (20.30)
Email: weitze-schmithuesen@kit.edu
Seminarleitung Dipl.-Inform. Tobias Columbus
Sprechstunde: nach Vereinbarung
Zimmer 1.024 Kollegiengebäude Mathematik (20.30)
Email: tobias.columbus@kit.edu

Der Modulraum \mathcal{M}_g klassifiziert kompakte Riemannsche Flächen von Geschlecht g und ist ein interessantes Objekt in der algebraischen Geometrie. Gleichzeitig lässt er sich als Mannigfaltigkeit mit "milden" Singularitäten, die man als Quotient

$\mathcal{M}_g = \mathcal{T}_g / \Gamma_g$

des Teichmüllerraums \mathcal{T}_g nach der Operation der Abbildungsklassengruppe \Gamma_g erhält, beschreiben. Diesen Zusammenhang wollen wir nutzen, um die Topologie des Modulraums zu verstehen.

Topologisch ist \mathcal{T}_g einfach ein offener Ball und somit leicht zu verstehen. Wichtige topologische Invarianten des Modulraums, wie zum Beispiel seine Kohomologie, lassen sich daher aus entsprechenden Invarianten der Gruppe \Gamma_g ablesen.

Konkret werden wir die Kohomologiegruppen \mathrm{H}^i(\mathcal{M}_g;\mathbb{Q}) und \mathrm{H}^i(\Gamma_g;\mathbb{Q}) einführen und deren Abhängigkeit von i und g untersuchen. Zu diesem Zweck werden wir simpliziale Komplexe, klassifizierende Räume und algebraische Methoden wie zum Beispiel Spektralsequenzen kennenlernen und verwenden.

Unser Ziel ist ein Beweis des Stabilitätssatzes von Harer - einer tiefgehenden Aussage über die Topologie von \mathcal{M}_g.

Voraussetzungen: Grundlagen zur Topologie und Algebra (z.B. aus den Vorlesungen
Einführung in Geometrie und Topologie und Einführung in Algebra und Zahlentheorie

Vorbesprechung: Freitag, 8.2.2013, 13:15 Uhr in Raum 1C-02

Sie können diese Ankündigung auch als PDF-Dokument herunterladen. Hier gibt es die Themenliste.



Challenges

Challenge 1

Die kleinst mögliche Zahl ist 14. ... Gar nicht so einfach, wie man denken würde, eine Lösung zu finden. Der Császár Polyeder ist eine Lösung. Allgemeiner kann man für Flächen von Geschlecht g die kleinstmögliche Anzahl über eine konkrete Formel angeben. Für höherdimensionale Mannigfaltigkeiten ist die entsprechende Frage allerdings sehr schwierig und weitgehend nicht allgemein gelöst. Mehr dazu und einige noch ungelöste Fragen zu dem Thema findet man z.B. in dem Übersichtsartikel von Frank Lutz.


Challenge 2

Challenge 3

Challenge 4

Challenge 5

Challenge 6

Challenge 7

Challenge 8

Challenge 9

Challenge 10

Challenge 11

Challenge 12


Literaturhinweise

Hauptquelle für das Seminar sind: