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Arbeitsgruppe Zahlentheorie und Algebraische Geometrie

Sekretariat
Kollegiengebäude Mathematik (20.30)
Zimmer 1.027

Adresse
Englerstraße 2, 76131 Karlsruhe

Öffnungszeiten:
Mo - Fr, 9.15 - 11.45

Tel.: 0721 608 43041

Fax.: 0721 608 44244

zahlentheorie I

Zahlentheorie


Die Zahlentheorie beschäftigt sich mit den Eigenschaften der ganzen Zahlen. Besonderes Interesse finden dabei die Primzahlen (2,3,5,7,11,13,17,...). Für viele Aussagen benötigt man zum Beipiel die Tatsache, dass sich jede positive ganze Zahl auf eindeutige Art (deswegen darf 1 keine Primzahl sein) als Produkt von Primzahlen schreiben lässt. Schon Euklid wusste, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Denn hat man endlich viele Primzahlen p_1,\dots ,p_n, so ist keine von ihnen ein Teiler der Zahl p_1\cdot \dots \cdot p_n + 1, also muss es eine weitere Primzahl geben.

Die Praxis sieht - wie das halt meistens so ist - schwieriger aus. Wie stellt man fest, ob eine gegebene Zahl eine Primzahl ist? Wenn die Zahl sehr groß ist wird es nicht sinnvoll sein, sie auf Teilbarkeit durch alle kleineren Zahlen zu testen. Es gibt aber andere Eigenschaften, die eine Primzahl notwendiger Weise erfüllen muss. Ist nämlich p>2 eine Primzahl, so muss die Zahl 2^{p-1}-1 durch p teilbar sein. Es gibt aber auch andere ungerade Zahlen n, die 2^{n-1}-1 teilen; ihre Häufigkeit ist nicht so groß, und man nennt sie Pseudoprimzahlen. Jedenfalls gibt es ganz gute Tests um eine Zahl auf ihre Primitivität zu prüfen.

Viel schwieriger ist es, eine gegebene ganze Zahl tatsächlich als Produkt von Primzahlen zu zerlegen. Auf der Tatsache, dass dies schwierig ist, beruht zum Beispiel die Sicherheit der gängigen Kryptografiemethoden. Diese benutzen typischer Weise ein Produkt von zwei (großen) Primzahlen, die man kennen muss, um den Code zu knacken. Bis man alle potenziellen Primfaktoren durchprobiert hat, ist die Nachricht, die man knacken will, schon längst nicht mehr aktuell.

Eng mit dieser Schwierigkeit verknüpft ist die Frage, wie regelmäßig die Primzahlen in den natürlichen Zahlen liegen, insbesondere also die Frage, wie viele Primzahlen es unterhalb einer gegebenen Zahl x gibt. Die asymptotische Antwort darauf ist: x/log(x). Die Feinverteilung der Primzahlen ist aber noch nicht gut verstanden. Es scheint eher fraglich zu sein, dass es eine wie auch immer geartete Regelmäßigkeit gibt. Es gibt auch probabilistische Zahlentheoretie, in der mit Methoden der Wahrscheinlichkeitstheorie diese Fragen studiert werden.

Primzahlen treten auch in anderen, überraschenden Zusammenhängen auf. Wenn man zum Beispiel die Energieniveaus der Eigenschwingungen einer quadratischen Membran bestimmen will, so muss man wissen, welche Zahlen sich als Summe von zwei Quadratzahlen schreiben lassen. Eine Primzahl p>2 lässt dies genau dann zu, wenn sie bei Division durch 4 den Rest 1 lässt: 5 = 4+1, 13=9+4, 17=16+1, 29=25+4, 37=36+1,41=25+16... Für eine beliebige Zahl math>n</math> folgt, dass sie genau dann eine Summe von zwei Quadraten ist, wenn in ihrer Zerlegung als Produkt von Primzahlen jede Primzahl, die bei Division durch 4 den Rest 3 lässt, gerade oft vorkommt.

Die Zahlentheorie bietet eine ganze Reihe solcher sehr reizvollen Phänomene. Diese werden oft in Vorlesungen über elementare Zahlentheorie behandelt. Weiter reichende Untersuchungen sind dann zumeist spezielleren Vorlesungen vorbehalten. Hier lernt man zum Beispiel mit dem Problem umzugehen, dass in anderen zahlentheoretisch interessanten Ringen eine Primzerlegung nicht mehr gewährleistet ist. Dieser Sachverhalt hat zwar die Lösung der Fermatschen Vermutung um etwa 150 Jahre verzögert, aber eine große Vielfalt neuer Fragen nach sich gezogen, die nicht minder reizvoll, wenn auch schwerer zu formulieren sind.

Es gibt auch heute noch immer prominente ungelöste Fragen der Zahlentheorie, zum Beispiel die Goldbachsche Vermutung, welche besagt, dass jede gerade Zahl >3 sich als Summe von zwei Primzahlen schreiben lässt. Oder auch die Vermutung, dass es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt, also Paare von Primzahlen, deren Differenz 2 ist. Aber vielleicht sollte man sich hier mit weniger begnügen, denn schon Choquet hat gesagt: wer sich öffentlich mit einem bekannten ungelösten Problem befasst läuft Gefahr, nur durch seine Fehlschläge in Erinnerung zu bleiben.