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Arbeitsgruppe Topologie

Sekretariat
Kollegiengebäude Mathematik (20.30)
Zimmer 1.014

Adresse
Karlsruher Institut für Technologie
Fakultät für Mathematik
Institut für Algebra und Geometrie
Englerstr. 2 Mathebau (20.30)
76131 Karlsruhe

Öffnungszeiten:
Montag - Freitag
10:00 - 11:30 Uhr

Tel.: 0721 608 42059

Fax.: 0721 608 42148

Seminar zur höherdimensionalen Poincaré-Vermutung (Wintersemester 2013/14)

Dozent: Prof. Dr. Roman Sauer
Veranstaltungen: Seminar (0121800)
Semesterwochenstunden: 2


Die (verallgemeinerte) Poincaré-Vermutung besagt: Sei M^n eine geschlossene glatte Mannigfaltigkeit der Dimension n, welche homotopieäquivalent zur Sphäre S^n ist. Dann ist M^n bereits homöomorph zur Sphäre S^n.

Die Vermutung wurde 2002 abschließend im Fall n=3 durch die Arbeiten von Perelman gelöst (Fields-Medaille 2006). Einige Jahre zuvor (1982) löste Freedman den Fall n=4 (Fields-Medaille 1986). Den Grundstein legte Smale im Jahre 1961 als er einen Beweis der Vermutung für n\geq 5 veröffentlichte, ein Resultat, welches zur damaligen Zeit als sehr unwahrscheinlich galt. Auch hierfür wurde im Jahre 1966 eine Fields-Medaille vergeben.

In diesem Seminar wollen wir einen Beweis für den Fall n\geq 5 verstehen. Genauer werden wir ein allgemeineres Resultat, nämlich den h-Kobordismus-Satz, beweisen. Dieser besagt: Sei W eine glatte kompakte Mannigfaltigkeit der Dimension n\geq 6 mit Rand \partial W=V_1\sqcup V_2 so, dass W,V_1,V_2 einfach zusammenhängend sind und V_1,V_2 Deformationsretrakte von W. Dann ist W diffeomorph zum Zylinder W\times [0,1].

Wir werden dem klassischen aber gut lesbaren Text Lectures on the h-cobordism theorem von Milnor folgen. Der Beweis stützt sich hauptsächlich auf Morse-Theorie, welche aber nicht vorausgesetzt wird. Allerdings werden grundlegende Begriffe aus der Differentialtopologie (glatte Mannigfaltigkeiten, Satz von Sard, etc.) und der algebraischen Topologie (Homologie, Thom-Isomorphismus, etc.) benötigt. Der Beweis ist abgesehen davon sehr geometrisch, es können viele Bilder gemalt werden.


Vorkenntnisse:

  • Einführung in die Geometrie und Topologie
  • Grundkenntnisse aus der algebraischen Topologie im Umfang der Vorlesung von Prof. Dr. Stephan Klaus im Sommersemester 2013
Termine
Seminar: Montag 17:30-19:00 1C-01
Dozenten
Seminarleitung Prof. Dr. Roman Sauer
Sprechstunde: nach Vereinbarung
Zimmer 1.001 Kollegiengebäude Mathematik (20.30)
Email: roman.sauer@kit.edu

Das Programm befindet sich hier.

Bitte beachten Sie auch unbedingt diese Hinweise zur Vortragsvorbereitung. Lesen Sie auch die Hinweise des Kollegen Lehn durch.