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Arbeitsgruppe Angewandte Analysis

Sekretariat
Kollegiengebäude Mathematik (20.30)
Zimmer 2.029

Adresse
Englerstraße 2
76131 Karlsruhe

Dr. Kaori Nagato-Plum
kaori.nagatou@kit.edu


HM I, II, III: für Studierende der Physik, Elektrotechnik
Übungsscheine für HM: für die Studierende der Physik
Numerische Methoden (ETIT)
zusätzlich: studienbegleitende Klausuren zu den Vorlesungen der Dozenten der Arbeitsgruppe.




Öffnungszeiten:
Mo -- Fr 10:00-12:00

Tel.: 0721 608-42056

Fax.: 0721 608-46214

Vorlesungsnotizen

Vorlesungen von Analysis


Vorlesung 1
Themen: Aussagen, Verknüpfung von Aussagen, Regeln, Quantoren

Bemerkung: Auf der Seite 5 fehlt die letzte Zeile. Sie lautet  \neg (\exists x: A(x)) \Leftrightarrow (\forall x: \neg A(x)).

Die folgenden Matlabprogramme entscheiden, ob eine Implikation oder Äquivalenz richtig sind. Sie benutzen das logische und das logische oder und die Negation. Laden Sie die Programme herunter und experimentieren Sie. Wie während der Vorlesung erwähnt, dass die Programme funktionieren, liegt an den Regeln an.

impliziert.m
equiv.m

Vorlesung 2 Teil 1
Vorlesung 2 Teil 2 (Ergänzungen)
Themen: Mengen, Vereinigung, Durchschnitt, Operationen mit Mengen, die Lehre Menge

Vorlesung 3
Themen: Kartesisches Produkt von Mengen, Betrag der reellen Zahlen.

Vorlesung 4
Themen: Komplexe Zahlen, Realteil, Imaginärteil, Betrag einer komplexen Zahl, Eigenschaften davon.

Vorlesung 5
Themen: Funktionen, Bild, Urbild, injektive/surjektive/bijektive Funktionen, Komposition, Umkehrabbildung

Vorlesung 6
Ergänzung Hier noch mal die Seite 4 die ursprünglich nicht so gut gescannt wurde
Themen: gründlichere Einführung der reellen Zahlen, Körperaxiome, Anordnungsaxiome, obere und untere Schranken, Maximum und Minimum.

Vorlesung 7 (bis auf die drei letzten Seiten des Files)
Themen: Supremum, Infimum, Vollständigkeitsaxiom, beschränkte Mengen,


In der letzten Vorlesung gab es viele Fragen die ich leider nicht antworten konnte. Die Fragen habe ich danach gesehen und habe ich entschieden in diesem Fall zu antworten. Erst antworte ich die mathematischen fragen und danach die nicht mathematischen. Bitte entschuldigen Sie, dass ich nicht sofort antworten konnte die Fragen waren echt viele.
Antworten der nuKIT Fragen

Vorlesung 8
Themen: Beschränkte Mengen, natürliche Zahlen, Induktion, definition durch Rekursion, Summenzeichen, Produktzeichen, n! (oder n Fakultät)

Achtung: Die Numerierung der Beispiele ist korrigiert worden

Zum Spaß

Die folgenden Programme in Matlab geschrieben sind Anwendungen der Rekursion.

Das erste Programm genannt fakultaet.m berechnet für jede natürliche Zahl n die Zahl n Fakultät( oder n!). Das Programm wurde in der letzten Vorlesung gezeigt.

Das zweite Programm genannt mergesort.m zusammen mit dem Programm merge.m macht folgendes: man gibt einen Vektor ein mit reellen Zahlen in beliebiger Reihenfolge. Das Programm gibt dann die Zahlen sortiert so dass jede Zahl kleiner gleich ist als die nächste. Mit einem solchen Algorithmus kann man zum Beispiel ein Katalog mit Telefonnummern sortieren so dass die Personen in alphabetischen Reihenfolge auftauchen. Dieser Algorithmus ist zumindest in Größe Ordnung der Effizienste Algorithmus der diese Sortierung macht.

Das Hauptprinzip des Programms ist das folgende: erst wird die erste Hälfte des Vektors sortiert, danach die zweite Hälfte des Vektors und mithilfe von merge.m werden die zwei Hälften zusammengesetzt in einem sortierten Vektor. Laden Sie alle diese Programme herunter und experimentieren Sie!

fakultaet.m
mergesort.m
merge.m


Vorlesung 9
Themen: Permutationen von \{1,...,n\}, Binomialkoeffizienten, Binomialsatz, Bernoullische Ungleichung und Folgerung

Vorlesung 10
Themen: Wurzeln, Polardarstellung der komplexen Zahlen, Polynome, Polynom Division, Fundamentalsatz der Algebra und Folgerung
Ergänzung: Eine ausführliche Erklärung, warum \cos(\pi/3)=1/2, \sin(\pi/3)=\sqrt{3}/2 ist in den Notizen addiert worden.

Vorlesung 11
Themen: Die Gleichung z^n=c, Vielfachheit einer Nullstelle, (reelle) Folgen, Konvergenz, konvergente und divergente Folgen, Limes/Grenzwert, Grenzwertsätze

Vorlesung 12
Themen: Monotone Folgen, Satz von Bolzano Weierstrass,  \lim n^{1/n}=1, Teilfolgen, Häufungswerte.

Unbeantwortete nuKIT fragen mit Antwort: Muss das Auto wirklich aufhören sich zu bewegen?

Antwort: Nicht unbedingt, aber wenn nicht, dann wird es einen Punkt approximieren. Um Verwirrungen zu vermeiden habe ich auch
den wirklichen Beweis des Theoremes hochgeladen.

Ergänzung: Im folgenden File gibt es den Beweis, dass jede reelle Folge eine monotone Teilfolge hat.Dieser Beweis,
zusammen mit dem Beweis des Satzes 6.1 in den Notizen liefern einen vollständigen Beweis des Satzes von Bolzano Weierstraß.

Beweis, dass jede reelle Folge eine monotone Teilfolge hat

Vorlesung 13
Themen: Rechnen mit \infty, Limes Superior Limes Inferior, Reihen, geometrische Reihe harmonische Reihe.

Vorlesung 14
Themen: Leibnitzkriterium, Majorantenkriterium, Minorantenkriterium, Wurzelkriterium

Vorlesung 15
Themen: Quotientenkriterium, Exponentialreihe und Eigenschaften

Vorlesung 16
Themen: Mehr Eigenschaften der Exponentialreihe, Cauchy Produkt, Sinus und Cosinus, Potenzreihen, Konvergenzradius

Das folgende Matlabprogramm auch gezeigt in der Vorlesung, berechnet e^z mit Fehler der so klein ist wie wir wollen. Das Programm macht nur Addition Multiplikation und Division. Laden Sie das Programm und experimentieren Sie. Versuchen Sie zu vestehen warum das Programm funktioniert. Wie in der Vorlesung erwähnt wurde, wird die Eigenschaft 12 benutzt, die wir am Anfang der Vorlesung bewiesen haben.


expapproxa.m

Vorlesung 17
Themen: Konvergenzradius über Quotienten, Limes Stetigkeit, Kriterien, Zwischenwertsatz

Was bringt der Zwischenwertsatz? Kann uns helfen Gleichungen zu lösen. Das folgende Programm Illustriert,die sogenannte Bisektionsmethode. z.B. ist f stetig und f(1)=-1 und f(2)=1 dann hat f Nullstelle zwischen 1 und 2. Der Computer kann aber jetzt f(1,5) berechnen. Ist f(1,5)=0 dann haben wir eine Nullstelle gefunden. Ist f(1,5)<0 dann hat f eine Nullstelle zwischen 1,5 und 2. Ist f(1,5)>0 dann hat f eine Nullstelle zwischen 1 und 1,5. Wenn wir das wiederholen, können wir eine Nullstelle approximieren mit Fehler, der so klein ist, wie wir wollen. Nach dem Programm gibt es Beispiel, wie man das Programm benutzen kann (man braucht den Befehl inline, weil eine Funktion f input ist)

bisektion.m

Zum Spaß: Die Anwendung des Zwischenwertsatzes am Biergarten, die in der Vorlesung erwähnt wurde wird ausführlicher erklärt in dem folgenden youtube Video auf Englisch

Viel Spaß!!!!

https://www.youtube.com/watch?v=OuF-WB7mD6k


Vorlesung 18
Themen: Einseitige Grenzwerte, Limes mit unendlich, monotone Funktionen, Umkehrabbildung monotoner Funktionen.

Vorlesung 19
Themen: Logarithmus, die allgemeine Potenz, der allgemeine Logarithmus, Beispiele

Vorlesung 20
Themen: Sinus, Cosinus, Tangens, Arcussinus, Arcuscosinus, Arcustangens, Anwendung von arctan in der Polardarstellung der komplexen Zahlen.

Vorlesung 21
Themen: Maximum/ Minimum stetiger Funktionen, Ableitungen, Produktregel, Quotientenregel, Kettenregel

Achtung: Die Reihenfolge in den Notizen ist etwas anderes als in der Vorlesung. Die Illustration der Kettenregel ist korrigiert worden.

Vorlesung 22
Themen: Satz über die Umkehrfunktion, Extrema/ lokale Extrema einer stetigen Funktion, Berechnung der Extrema einer stetigen Funktion, Mittelwertsatz und Folgerungen.

Vorlesung 23
Themen: Höhere Ableitungen, Formulierung und Beweis des Satzes von Taylor. In der nächsten Vorlesungen werden Beispiele des Satzes von Taylor beigebracht werden.

Vorlesung 24
Themen: Beispiele und Anwendungen des Taylorsatzes, Folgerung des Taylorsatzes

Das folgende Matlab Programm vergleicht, die Graphen von e^x, 1, 1+x, 1+x+x^2/2, 1+x+x^2/2+x^3/6 im Intervall -2,2.


exptaylorgraph.m

Das folgende Matlabprogramm Approximiert cos(x) mit n richtigen nachkomma stellen mit dem Satz von Taylor und nur mit Polynomen.
Es ist wirklich kurz, laden Sie es herunter und experimentieren Sie. Versuchen Sie es umzuschreiben damit die Sinus Funktion approximiert wird.
Versuchen Sie auch das Programm zu verstehen.

function y = cosTaylor(x,n) %%% Approximation von cos(x)
%%%%% mit n richtigen nachkomma Stellen (genauer mit Fehler kleiner als 10^(-n)
%%% n muss eine natuerliche Zahl sein. x muss eine reelle Zahl sein.
x=x-2*pi*floor((x+pi)/(2*pi)); %%% Das Programm funktioniert auch
%%%%ohne diesen Befehl. Warum ist aber dieser Befehl Hilfreich?
a(1)=1; m=1;
while abs(a(m))>=10^(-n), a(m+1)=(-x^2/2*m*(2*m-1))*a(m); m=m+1; end;
y=sum(a(1:m-1)); %%%%%%% Die Terme der Reihe werden summiert


Vorlesung 25
Themen: Folgerung des Taylorsatzes (Kriterium für lokales Minimum/lokales Maximum), Konvexe Konkave Fuktionen, Regel von de l'Hospital, Ableitung von Potenzreihen.

Vorlesung 26
Themen: Untersummen, Obersummen, unteres Integral, oberes Integral, Riemann Integral, Riemannsche Summen, Hauptsatz der Differential und Integralrechnung.

Die folgenden Matlabprogramme illustrieren die Untersummen, die Obersummen, und die Riemannschen Summen. Laden Sie die Programme herunter und experimentieren Sie.

obersumme.m
riemannsumme.m
unterobersumme.m
untersumme.m

Vorlesungen 27-28
Themen: Beweis des Hauptsatz der Differential und Integralrechnung, partielle Integration Substitution, uneigentliche Integrale

Vorlesungen 29
Themen: Konvergenz absolute Konvergenz von uneigentlichen Integralen, Majoranten/Minorantenkriterium für uneigentliche Kriterium, Integralkriterium für Konvergenz von Reihen.


Vorlesungen der Linearen Algebra


Vorlesung 1 (nur die letzten drei Seiten des Files)
Themen: Vektorräume und Vektoren

Vorlesung 2
Themen: Unterräume/ Teilräume, Linearkombinationen, linearer Aufspann

Unbeantwortete nuKIT fragen mit Antwort

Warum in BSP13.3 gibt es x1,x2 gehört zu R.Aber in Definition ist es für alle x,y gehört zu U?

Hier sind x1, x2 reelle zahlen und x, y Elemente von U. Vielleicht ist die Notation verständlicher wenn man \vec{x}, \vec{y} schreibt anstatt x, y.

Was ist der Unterschied zwischen Teilmenge und Untermenge?

Antwort: ist das gleiche


Wie kann man sich einen Unterraum vorstellen bzw. welchen Sinn hat er?

Antwort: grob kann man das sich vorstellen als ein flaches Objekt sie eine gerade oder eine Ebene die durch den Ursprung geht. Unterräume mit Dimension größer als 3 kann man sich geometrisch nicht vorstellen . der Begriff des unterraums ist relevant wenn man lineare Gleichungssysteme lösen möchte, wie wir in der nächsten Woche sehen werded. Ein solches lineares System
Kann man zum Beispiel in den linearen elektrischen Netzen auftauchen.

Muss man nicht immer beide regeln (+/x) überprüfen um zu beweisen das raum X ein untervektorraum von Y ist??

Antwort: ja muss man

Ist das was wir gerade machen nichts anderes als Ortsvektor und Spannvektor?​

Antwort: in irgendwelchen Sinn ja , man muss aber vorsichtig sein . zum Beispiel der Begriff des ortsvektors und des spannvektors wird gewöhnlich in R hoch 2 und r hoch 3 verwendet. aber man redet von Vektoren und linearem Aufspann auch wenn man Vektorräume von Funktionen betrachtet( wobei eine Funktion ein Vektor ist). Zusätzlich der Begriff des spannvektors wird auch verwendet für Ebenen die nicht durch den Ursprung 0 gehen. Solche Ebenen sind keine Teilräume sondern affine Teilräume , wie wir in der nächsten Vorlesung sehen werden. Auch den linearen Aufspann kann man verwenden für Vektoren die miteinander Parallel sind


Vorlesung 3
Themen: Affine Teilräume, lineare Unabhängigkeit, Zeilenumformungen Zeilenstufenform
Achtung: Es gibt Korrektur der Koeffizienten des Systems (S'). Die Koeffizienten
a_{ij} sollen gleich wie im System (S) sein.

In der nächsten Vorlesung werden wir Teilweise die Begriffe der letzten wiederholen.

'Zum Spaß'
Das folgende Matlab Programm überprüft, ob eine Matrix in Zeilenstufenform (ZSF) ist. Wenn die Matrix in (ZSF) ist dann kommt als output 1 ansonsten 0. Auch wenn die Matrix in ZSF ist dann kommt auch wenn man die Funktion benutzt wie viel r ist und wie viel k_1,...,k_r sind. Das Programm ist geschrieben mit der Notation der Definition. Es gibt auch dazu viele Kommentare damit sie das Programm verstehen. Sie sind stark aufgefordert, das Programm herunterzuladen und damit zu experimentieren! Sie sind auch stark aufgefordert zu versuchen das Programm zu vestehen.

zsfueberpruefen.m

Anworten ungeantworteter nuKIT Fragen:

Warum haben die Systeme (S), (S') unterschiedliche Koeffizienten a_{ij}?
Antwort: Sie haben recht, sie sollten die gleichen Koeffizienten haben. Das habe ich in den Notizen korrigiert.

Haben Sie andere Beispiele affiner Teilräume?
Antwort: Es gibt viele z.B. \{(x,y) \in \mathbb{R}^2: 3x+5y=2\}, \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3: x-y+z=4\}
\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3: x-y+z=4 \text{ und } x=y\}

Wie weiß man welche Gleichung überflüssig ist?
Antwort: Im Fall des linearen Netzes der Vorlesung könnte man eine von der vier Gleichungen streichen ohne Information zu verlieren (egal welche). Im allgemeinen Fall ist es nicht sofort klar. Man muss sehen welcher Vektor Linearkombination der anderen ist (Es kann natürlich sein, dass mehrere Vektoren diese Eigenschaft haben).

Was ist der Unterschied zwischen Matrix und lineare Gleichungssysteme (LGS)?

Antwort: Ein LGS ist ein System von Gleichungen, die wir lösen möchten. Eine Matrix hat Zeilen und Spalten. Lineare Gleichungssysteme können mit Hilfe von Matrizen behandelt werden, aber man kann Prinzipiel von linearen Gleichungssystemen reden ohne Matrizen einzuführen.

Vorlesung 4
Themen: Zeilenstufenform, Basen, Dimension, Koordinaten eines Vektors bezüglich einer Basis

Das folgende Matlab Programm bekommt eine Matrix als input. Die Matrix wird in Zeilenstufenform überführt werden. Sie sind aufgefordert das Programm herunterzuladen und zu experimentieren. Sie sind auch aufgefordert, mit Hilfe des Programmes ein Program zu schreiben, das entscheidet, ob die Zeilen einer Matrix linear unabhängig sind oder nicht.

zeilenstufenform.m

Hier geben wir eine kleine Änderung der Funktion zsfueberpruefen.m. Was sich ändert, ist das die Zahl r output ist.

zsfueberpruefen2.m

Das folgende Programm entscheidet ganz schnell mit Hilfe der Funktionen zeilenstufenform.m und zsfueberpruefen2.m, ob die Zeilen einer Matrix linear unabhaengig sind. Versuchen Sie zu verstehen was passiert. Viel Spaß

linearunabhaengig.m

Vorlesung 5
Themen: Zeilennormalform, Matrix-Vektor-Produkt, lineare Gleichungssysteme, Bild und Kern einer Matrix

Achtung:Auf der Seite 5 soll die Gleichung A \vec{x}=(1 1)^T (Spaltenvektor) ignoriert werden.

Nächstes Mal werden Beispiele dazu gemacht werden.


Das folgende Matlabprogramm bringt eine Matrix in Zeilennormalform. Sie können damit experimentieren, kann aber auch ihnen helfen Ihre Lösungen zu überprüfen! Sie sind stark aufgefordert zu versuchen das Programm zu verstehen. Der größte Teil davon ist Kopie von zeilenstufenform.m

zeilennormalform.m


Das Programm zeilennormalform.m wurde am 14.12.2016 aktualisiert, weil es einen Fehler hatte, und nicht immer funktioniert hatte


Vorlesung 6
Themen: Eliminationsverfahren Nach Gauß, Methoden für Berechnung des Bildes und des Kernes inkl. -1 Ergänzungstrick

Bemerkung: Ein paar Studierenden haben gefragt, wieso der -1 Ergänzungstrick stimmt. Das File hat am Ende eine zusätzliche Seite, mit einem Versuch die Frage teilweise zu beantworten.


Das folgende Matlab Programm geschrieben von Ihrem Komilitone Herrn Alexander Fritz, erweitert das Programm der Zeilennormalform und zetzt den -1 Ergänzungstrick um. Laden Sie das Programm und Experimentieren Sie. Versuchen Sie auch das Programm zu vestehen.

znferweiterung.m

Vorlesung 7
Themen: Dimensionsformel, Produkt von Matrizen, Einheitsmatrix, Invertierbare Matrizen

Vorlesung 8
Themen: Berechnung der Inverse einer Matrix, lineare Abbildungen, Bild, Kern, Eigenschaften der linearen Abbildungen

Vorlesung 9
Themen: Lineare Abbildungen als Matrizen, Skalarprodukt

Vorlesung 10
Themen: Orthogonalität, Orthogonalsysteme, Orthonormalbasen, Gram-Schmitt Verfahren.

Vorlesungen 11-12
Themen: Orthogonalprojektionen, Gram-Schmidt Verfahren, transponierte/adjungierte Matrix, Orthogonale/unitäre Matrizen und Ihre Eigenschaften, definierende Eigenschaften der Determinante.

Das folgende Matlabprogramm hat als input eine Matrix deren Spalten die Vektoren v_1,...v_m sind für das Gram-Schmidt Verfahren. Output ist eine Matrix deren Spalten eine Orthonormalbasis von lin\{v_1,...v_m\}. Können Sie dann ein Programm schreiben, dass die Orthogonal Projektion auf lin\{v_1,...v_m\} berechnet?

Bemerkung: Das Programm funktioniert nicht wenn v_1,...v_m linear abhängig sind.
gramschmidt.m

Vorlesung 13
Themen: Determinanten, Berechnung der Determinante mit Zeilen/Spaltenumformungen, Berechnung der Determinanten mit dem Determinantenentwicklungssatz.

Die folgenden Programme berechnen die Determinante mit Zeilenstufenform

zsfdetstud.m

und mit dem Determinantenentwicklungssatz.

entdet.m

Vorlesung 14
Themen: Bedeutung der Determinante als Volumen, Crammersche Regel, Formel für die Inverse Matrix von der Krammerschen Regel.
In der Vorlesung wurde auch der Aufwand der Algorithmen zsfdetstud.m und entdet.m besprochen und verglichen. Das ist aber nicht
Prüfungsrelevant.


Vorlesung 15
Themen: Kruezprodukt, Spatprodukt, Beispiele zur Wiederholung