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Arbeitsgruppe Nichtlineare Partielle Differentialgleichungen

Sekretariat
Kollegiengebäude Mathematik (20.30)
Zimmer 3.029

Adresse
Karlsruher Institut für Technologie
Institut für Analysis
Englerstraße 2
76131 Karlsruhe

marion.ewald@kit.edu

Zuständigkeiten:

Analysis I, II, III: für Studierende der Mathematik, Lehramt Mathematik, Physik, Informatik, Ingenieurpädagogik, Schülerstudenten

HM I, II: für Studierende der Informatik

sowie studienbegleitende Klausuren zu den Vorlesungen der Dozenten der Arbeitsgruppe.




Öffnungszeiten:
Mo-Fr: 10-12, Di+Do: 14-16

Tel.: 0721 608 42064

Fax.: 0721 608 46530

Rand- und Eigenwertprobleme (Sommersemester 2013)

Dozent: Prof. Dr. Michael Plum
Veranstaltungen: Vorlesung (0157500), Übung (0157600)
Semesterwochenstunden: 4+2
Hörerkreis: Mathematik, andere Fachr. mit starken math. Interessen (ab 4. Semester)


Klausurergebnisse (Nachklausur)

Die Ergebnisse der Nachklausur vom 10.10.2013 hängen ab sofort an der blauen Pinnwand neben Zimmer 3A-26.1 aus.

Nachklausur

Die Nachklausur findet am 10.10.2013 von 10-12 Uhr im Tulla-Hörsaal statt.

Die Anmeldung zur Nachklausur ist ab sofort freigeschaltet. Anmeldeschluss: 30.9.2013

Studierende, die an der Nachklausur teilnehmen wollen, werden gebeten möglichst bald eine kurze E-Mail an die Übungsleiterin Dagmar Roth (dagmar.roth@kit.edu) zu senden. Diese E-Mail ersetzt nicht die Anmeldung in QISPOS, sondern dient lediglich zu einer Abschätzung der Teilnehmerzahl für die Nachklausur.

Skript

Auf der Seite

Vorlesungsmitschrieb Rand- und Eigenwertprobleme SS 2013

finden Sie den getexten Vorlesungsmitschrieb von Simon Collet. Das Skript wird laufend aktualisiert. Bitte beachten Sie, dass das Skript von Seiten der Vorlesungsverantwortlichen nicht korrigiert wurde und daher keine Verantwortung für eventuelle Fehler übernommen wird.

Aktuelles

Bei der Definition der gleichmäßig starken Elliptizität hat sich in der Vorlesung ein kleiner Fehler eingeschlichen. Es muss richtig heißen:

 L heißt gleichmäßig stark elliptisch, falls die Koeffizienten  a_{(\ldots)} beschränkt sind auf  \Omega und es gilt:

$ (-1)^{n/2}\sum\limits_{\substack{{\alpha_1,\ldots,\,\alpha_m\in\mathbb{N}_0}\\{\alpha_1+\ldots+\alpha_m=n}}} a_{(\alpha_1,\ldots,\,\alpha_m)}(x)\xi_1^{\alpha_1}\xi_2^{\alpha_2}\ldots \xi_m^{\alpha_m}\geq c_0\left (\sum\limits_{i=1}^m\xi_i^2\right)^{n/2} $

für alle  x\in\Omega und alle  \xi=(\xi_1,\ldots,\xi_m)\in\mathbb{R}^m , wobei  c_0>0 eine feste Konstante ist.

In der Vorlesung stand aus Versehen der Exponent \frac 12 statt  \frac n2 auf der rechten Seite der Formel.



Einführung und Inhalt


Ein Randwertproblem besteht aus einer elliptischen (oder gewöhnlichen) Differentialgleichung auf einem Gebiet, zusammen mit Zusatzbedingungen, die auf dem Rand des Gebietes gestellt werden, beispielsweise vorgeschriebene Werte für die unbekannte Funktion. Im Falle einer gewöhnlichen Differentialgleichung werden diese „Randbedingungen“ an beiden Enden des zugrundeliegenden Intervalls gestellt (im Gegensatz zu Anfangsbedingungen). Randwertprobleme treten typischerweise bei stationären (d.h. zeitunabhängigen) Zuständen physikalischer Systeme auf.

Ein Eigenwertproblem für eine Differentialgleichung ist ein lineares homogenes Randwertproblem, welches (typischerweise linear) von einem zusätzlichen Parameter abhängt, und man interessiert sich für solche Parameterwerte, die nichttriviale Lösungen des Randwertproblems zulassen. Eigenwertprobleme entstehen z. B. nach Variablentrennung bei zeitabhängigen Problemen und beschreiben daher viele Schwingungssysteme (einschließlich Quantenmechanik).

Die Vorlesung beginnt mit einer Reihe von Beispielen von Randwertproblemen, die in der mathematischen Physik auftreten. Anschließend wird die (vergleichsweise einfache) Existenztheorie für gewöhnliche lineare reguläre Randwertprobleme behandelt. Einen großen Teil der Vorlesung nimmt die Existenztheorie für lineare elliptische Randwertprobleme ein. Hierzu werden die schwache Formulierung von Randwertproblemen, Sobolev-Räume, Spursätze, das Lax-Milgram-Lemma, die Gardingsche Ungleichung, die Fredholmsche Alternative und andere Hilfsmittel benutzt. Diese Theorie stellt natürliche Verbindungen zu Eigenwertproblemen her. Aufbauend auf dem Spektralsatz für kompakte symmetrische Operatoren in Hilberträumen und auf der Existenztheorie für lineare Randwertprobleme wird eine Eigenwerttheorie für symmetrische elliptische Differentialoperatoren behandelt. Falls die Zeit es zulässt, schließt die Vorlesung mit einem kurzen Abriß einiger numerischer Methoden für Rand- und Eigenwertprobleme (Galerkin, Finite Elemente).

Die Vorlesung ist geeignet für Studenten im 4. oder höheren Semester mit fundierten Kenntnissen in Analysis und Linearer Algebra. Sie ist gedacht für Studierende der Mathematik und für Studenten anderer Fachrichtungen mit starken mathematischen Interessen.

Die Vorlesung wird von Übungen begleitet. Teilnahme an diesen Übungen wird allen Teilnehmern dringend empfohlen.

Termine
Vorlesung: Montag 11:30-13:00 1C-04 Beginn: 15.4.2013, Ende: 16.7.2013
Dienstag 11:30-13:00 1C-04
Übung: Mittwoch 14:00-15:30 Z 1 Beginn: 17.4.2013, Ende: 17.7.2013
Dozenten
Übungsleiterin Dr. Dagmar Rütters (Roth)
Sprechstunde: Z. Zt. beurlaubt.
Zimmer 3.029 Kollegiengebäude Mathematik (20.30)
Email: dagmar.roth@kit.edu

Literaturhinweise

A. Friedman: Partial Differential Equations
(allgemeine elliptische Differentialgleichungen der Ordnung 2m, aber nur mit glatten Daten)

D. Gilbarg, N. Trudinger: Elliptic Partial Differential Equations of Second Order
(elliptische Differentialgleichungen zweiter Ordnung, hauptsächlich Dirichlet-Rand-bedingungen)

L. C. Evans: Partial Differential Equations

R. A. Adams: Sobolev Spaces
(keine Differentialgleichungen, aber exzellente und allgemeine Einführung in Sobolev-Räume, die ein wesentliches Werkzeug in der Theorie der Differentialgleichungen bilden)


Übungsblätter

1. Übungsblatt ~ Lösungen zum 1. Übungsblatt
2. Übungsblatt ~ Lösungen zum 2. Übungsblatt
3. Übungsblatt ~ Lösungen zum 3. Übungsblatt Lsg. zu Aufgabe 9 am 17.7. korr.
4. Übungsblatt ~ Lösungen zum 4. Übungsblatt
5. Übungsblatt ~ Lösungen zum 5. Übungsblatt
6. Übungsblatt ~ Lösungen zum 6. Übungsblatt
7. Übungsblatt ~ Lösungen zum 7. Übungsblatt
8. Übungsblatt ~ Lösungen zum 8. Übungsblatt
9. Übungsblatt ~ Lösungen zum 9. Übungsblatt Lsg. zu Aufgabe 30 am 31.7. korr.
10. Übungsblatt ~ Lösungen zum 10. Übungsblatt
11. Übungsblatt ~ Lösungen zum 11. Übungsblatt
12. Übungsblatt ~ Lösungen zum 12. Übungsblatt
13. Übungsblatt ~ Lösungen zum 13. Übungsblatt
Maple-Worksheet zu Aufgabe 45
14. Übungsblatt ~ Lösungen zum 14. Übungsblatt