Diese Vorlesung schließt sich an die Vorlesung Evolution Equations des Wintersemesters an, und sie setzt den Inhalt dieser Veranstaltung voraus. Zunächst wird die lineare Theorie in zwei Punkten erweitert: Zum einen untersuchen wir das Stabilitätsverhalten positiver Operatorhalbgruppen, die z.B. in der mathematischen Biologie auftreten. Zum zweiten wird in die Interpolationstheorie für Operatorhalbgruppen eingeführt, die es uns dann erlaubt, die Regularitätseigenschaften analytischer Halbgruppen detaillierter zu behandeln.
Aufbauend auf dem zweiten Punkt können wir nun eine Theorie semilinearer parabolischer Evolutionsgleichungen entwickeln. Nachdem die lokale Wohlgestelltheit gezeigt ist, konzentrieren wir uns auf Fragen des Langzeitverhaltens, wie die globale Existenz oder die Konvergenz gegen Equilibria. Hierbei gelingt es die bekannten Aussagen für gewöhnliche Differentialgleichungen auf natürliche Weise ins Unendlichdimensionale zu verallgemeinern. Typische Anwendungen sind Reaktions-Diffusionsgleichungen, bei denen Positivitätseigenschaften ausgenutzt werden können.
Abschließend soll die semilineare Schrödingergleichung behandelt werden, die ein Beispiel für sogenannte dispersive Gleichungen ist. Die Fragestellungen und die grundlegende Methodik sind ähnlich zum parabolischen Fall. Allerdings stehen die (analytischen) Glättungseigenschaften des linearen Anteils nicht mehr zur Verfügung. Diese werden durch sogenannte Strichartzungleichungen ersetzt. Ferner spielt die Energieerhaltung eine große Rolle.
Weitere Informationen zu dieser Lehrveranstaltung finden Sie im Studierendenportal des KIT unter der URL
https://studium.kit.edu/sites/vab/0x6D87D3116471FE4394BA955289947012/Start/homepage.aspx
Literaturhinweise
- T. Cazenave: Semilinear Schrödinger Equations. American Math. Soc.,2003.
- K.-J. Engel, R. Nagel: One-Parameter Semigroups for Linear Evolution Equations. Springer, 2000.
- D. Henry: Geometric Theory of Semilinear Parabolic Equations. Springer, 1981.
- F. Linares, G. Ponce: Introduction to Nonlinear Dispersive Equations. Springer, 2009.
- A. Lunardi: Analytic Semigroups and Optimal Regularity in Parabolic Problems. Birkhäuser, 1995.
- A. Lunardi: Interpolation Theory. Edizioni della Normale, Pisa, 2009.
- A. Pazy: Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations. Springer, 1983.
- T. Tao: Nonlinear Dispersive Equations. American Math. Soc., 2006.