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Die Vorlesung beschäftigt sich mit Banach- und Hilberträumen sowie den linearen Operatoren auf diesen Räumen. Typische Beispiele sind Räume stetiger oder integrierbarer Funktionen sowie lineare Abbildungen, die man durch Integration solcher Funktionen definiert. Auf diese Weise kann man etwa Integralgleichungen als affine oder lineare Gleichungen auf einem geeigneten Banachraum formulieren und mit Hilfe funktionalanalytischer Methoden lösen. Diese Fragestellung stand in der Tat am Beginn der Entwicklung der Funktionalanalysis um 1900. Daran anschließend entwickelte diese sich zu einer Grundlagendisziplin der modernen Analysis und ihrer Anwendungen in und außerhalb der Mathematik.

Eine vorläufige Themenliste:

• grundlegende Eigenschaften und Beispiele von metrischen Räumen, Banachräumen und linearen Operatoren
• Hauptsätze der Operatorentheorie: Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit und Homomorphiesatz
• Dualräume und Satz von Hahn-Banach
• schwache Konvergenz und Satz von Banach-Alaouglu
• Fouriertransformation, Sobolevräume und Anwendungen auf partielle Differentialgleichungen

Es werden die Inhalte der Grundvorlesungen Analysis 1-3 und Lineare Algebra 1+2 vorausgesetzt.

Prüfung

Es wird in der vorlesungsfreien Zeit eine (voraussichtlich) schriftliche Prüfung durchgeführt. Details werden noch bekanntgegeben. Die Vorlesung kann im Bachelor oder in den Masterstudiengängen gewählt werden.

• Die Prüfung findet am Mittwoch, den 28.03.2012, von 08:00-10:00 Uhr im Hörsaal Daimler statt. Wenn Sie an der Prüfung teilnehmen, so seien Sie bitte bereits um 07:45 Uhr anwesend, damit die Prüfung rechtzeitig beginnen kann.
• Wenn Sie an der Prüfung teilnehmen möchten, melden Sie sich bitte je nach Studien- und Fachrichtung über QISPOS oder bei Frau Katz bzw. Heiko Hoffmann zur Prüfung an. Bachelor- und Masterstudenten des Studiengangs Mathematik müssen sich über QISPOS anmelden! Die Anmeldefrist endet am 23.03.2012.
• Der Inhalt der Kausur wird den Stoff der Kapitel 1-4 umfassen.
• Abgesehen von zwei handbeschriebenen DIN A4 Seiten (oder äquivalent: einem doppelseitig beschriebenen DIN A4 Blatt) sind keine Hilfsmittel zugelassen.
• Wenn Sie weitere Fragen haben sollten, können Sie sich gerne an Heiko Hoffmann wenden.

Literaturhinweise

Auf meiner Homepage findet man die PDF Datei des (englischen) Skriptums meiner Vorlesung Functional Analysis vom Wintersemester 2009/10. Eine aktualisierte Fassung wird im Laufe des Wintersemesters 2011/12 sukzessive erstellt werden.

In der Vorlesungspräsenz in der Fakultätsbibliothek findet man eine Vielzahl empfehlenswerter Monographien zur Funktionalanalysis. Darunter möchte ich die folgenden Bücher hervorheben:

• D. Werner: Funktionalanalysis. Springer.

• H.W. Alt: Lineare Funktionalanalysis. Springer.
• J.B. Conway: A Course in Functional Analysis. Springer.
• M. Schechter: Principles of Functional Analysis. Academic Press.
• A.E. Taylor, D.C. Lay: Introduction to Functional Analysis. Wiley.