Vorbesprechung
Donnerstag, den 3.2.2011, 13.00 - 14.00 Uhr, Raum 1C-03
Inhalt
In diesem Proseminar werden Themen angesprochen, die entweder den Stoff von Analysis I vertiefen oder Inhalte höherer Vorlesungen vorbereiten. Im allgemeinen sind die Themen unabhängig voneinander; es gibt aber zwei Serien von jeweils 3 oder 4 Vorträgen über diskrete dynamische Systeme und Fourierreihen, die zum Teil aufeinander aufbauen und bei denen eine Zusammenarbeit der Vortragenden von Vorteil wäre.
Es folgen kurze Andeutungen über den Inhalt der Vorträge; mehr Details werden in der Vorbesprechung des Proseminars mitgeteilt.
Vortrag 1: Die Konstruktion der reellen Zahlen
Es wird beschrieben, wie man ein Zahlensystem konstruieren kann, das die Axiome der reellen Zahlen aus Abschnitt 1-2 erfüllt.
Vortrag 2: Die Transzendenz von 
Für Jahrhunderte war es eine offene Frage, ob die "Quadratur des Kreises mit Zirkel und Lineal" möglich ist. Erst 1882 hat Lindemann mit seinem Beweis der Transzendenz von die Frage endgültig beantwortet.
Vortrag 3: Umordnung von Reihen
Es wird gezeigt, daß absolut konvergente Reihen auch nach einer Umordnung noch konvergieren. Durch Umordnung konvergenter, aber nicht absolut konvergenter Reihen kann man eine "beliebige Zahl" als Summenwert erreichen (Riemann'scher Umordnungssatz).
Vortrag 4: Produkt-Darstellung von Potenzreihen und unendliche Produkte
Kann man in Analogie zur Produktdarstellung von Polynomen eine Potenzreihe wie die des Sinus als ein unendliches Produkt
schreiben? Dazu muß man die Konvergenz solcher Produkte auf unendliche Reihen zurückführen.
Vortrag 5: Stetige, nirgends differenzierbare Funktionen
Lange Zeit sind die Mathematiker mit Voraussetzungen wie Differenzierbarkeit und Stetigkeit relativ sorglos umgegangen. Weierstraß hat dann mit extremen Gegenbeispiel das mathematische Gewissen geschärft.
Vortrag 6: Cantor-Mengen und Fraktale
Die schauerlich schönen Eigenschaften der Cantor-Menge und anderer Fraktale wie der Koch-Kurve werden hergeleitet.
Vortrag 7,8: Die Mandelbrot-Menge I, II
Die Mathematik hinter den schönen Bildern
Vortrag 9,10: Konvergenz von Fourierreihen I, II
Es wird gezeigt, wie sich (z.B.) stetige Funktionen auf durch die "Überlagerung" von "Wellen mit Amplituden
und Frequenz
" als
darstellen lassen.
Vortrag 11,12: Fourierreihen und Differentialgleichungen I, II
Mit (F) als Ansatz für die Lösungsfunktion werden Wellen- und Wärmeleitungsgleichungen gelöst.