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Arbeitsgruppe Funktionalanalysis

Sekretariat
Kollegiengebäude Mathematik (20.30)
Zimmer 2.041

Adresse
Karlsruher Institut für Technologie
Institut für Analysis
Englerstraße 2
76131 Karlsruhe


natascha.katz@kit.edu




Übungsscheine für Analysis I, II, III (Mathematik, Lehramt Mathematik, Physik, Informatik)
Übungsscheine für HM I, II (Informatik)

zusätzlich: studienbegleitende Klausuren zu den Vorlesungen der Dozenten der Arbeitsgruppe.

Öffnungszeiten:
siehe Webseite

Tel.: 0721 608 43727

Fax.: 0721 608 67650

Evolutionsgleichungen (Wintersemester 2016/17)

Dozent: Prof. Dr. Lutz Weis
Veranstaltungen: Vorlesung (0105900), Übung (0106000)
Semesterwochenstunden: 4+2
Hörerkreis: Master Mathematik, Techno- und Wirtschaftsmathematik


Termine
Vorlesung: Dienstag 9:45-11:15 SR 2.66 Beginn: 18.10.2016
Freitag 9:45-11:15 SR 2.66
Übung: Freitag 14:00-15:30 SR 2.66 Beginn: 21.10.2016
Dozenten
Dozent Prof. Dr. Lutz Weis
Sprechstunde: Freitags, 11:30 bis 13:15 Uhr und nach Vereinbarung.
Zimmer 2.042 Kollegiengebäude Mathematik (20.30)
Email: lutz.weis@kit.edu
Übungsleiter M.Sc. Fabian Hornung
Sprechstunde: nach Vereinbarung
Zimmer 2-048 Kollegiengebäude Mathematik (20.30)
Email: fabian.hornung@kit.edu

Evaluationsbericht

Die Ergebnisse der Evaluation der Übung vom 16.12.16 können Sie unter Evaluation einsehen.



Hinweise

  • Auf dem dritten Übungsblatt, Aufgabe 5 b) wurde ein Tippfehler korrigiert.
  • Auf dem 6. Übungsblatt gibt es folgende Änderungen: In Aufgabe 13 a) wird nun vorausgesetzt, dass X ein Hilbertraum ist. Mit Blick auf Aufgabe 12 muss A dafür nicht dicht definiert sein. In Aufgabe 15 beschränken wir uns nun auf den Fall beschränkter Gruppen. Für den allgemeinen Fall verweisen wir auf

R. Nagel: One-Parameter Semigroups of Positive Operators, Springer, 1986.

Zum Inhalt

Sei A ein abgeschlossener linearer Operator auf einem Banachraum X. Das Cauchyproblem

$(1)~~~~~y'(t)=Ay(t),~~~~~~~y(0)=y_0,$

hat genau dann eine klassische Lösung für alle y_0 aus dem (dichten) Definitionsbereich von A, falls A eine Halbgruppe T(t) erzeugt, d.h. eine Exponentialfunktion T(t)=e^{tA},~t\geq 0, von beschränkten Operatoren auf X mit den Eigenschaften

  • T(0)= Id,
  • T(t+s)=T(t)T(s) für t,s\geq0,
  • T(t)x\rightarrow x für t\to 0 und x\in X.

Zunächst werden wir untersuchen, welche Operatoren A eine Halbgruppe erzeugen. Mit Hilfe der Halbgruppe T(t) werden anschließend Regularitätseigenschaften der linearen Gleichung (1) untersucht. Wir betrachten sowohl parabolische Evolutionsgleichungen (1), die die Wärmeleitungsgleichung verallgemeinern, als auch hyperbolische Gleichungen, zu denen die Schrödingergleichung und die Wellengleichung gehören.

Mit Hilfe dieser Regularitätsabschätzungen lassen sich nichtlineare Gleichungen

$y'(t)=Ay(t)+N(y(t)),~~~~~~~y(0)=y_0,$

auf ein Fixpunktproblem

$y(t)=T(t)y_0+\int_0^tT(t-s)N(y(s))ds$

zurückführen.


Übungsblätter

1. Übungsblatt zu Aufgabe 2
2. Übungsblatt zu Aufgabe 3
3. Übungsblatt
4. Übungsblatt zu Aufgabe 9c
5. Übungsblatt zu Aufgabe 10b
6. Übungsblatt
7. Übungsblatt
8. Übungsblatt
9. Übungsblatt
10. Übungsblatt zu Aufgabe 24 und 25c)
11. Übungsblatt
12. Übungsblatt Ergänzung
13. Übungsblatt
14. Übungsblatt

Voraussetzungen

Funktionalanalysis und Spektraltheorie

Literatur

  • K.-J. Engel, R. Nagel: One-Parameter Semigroups for Linear Evolution Equations, Springer, 2000
  • A. Pazy: Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations, Springer, 1983