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Fakultät für Mathematik

Karlsruher Institut für Technologie
D-76128 Karlsruhe
Tel.: +49 721 608-43800

Harmonische Analysis (Sommersemester 2010)

Dozent: PD Dr. Peer Christian Kunstmann
Veranstaltungen: Vorlesung (1577), Übung (1578)
Semesterwochenstunden: 4+2


Termine
Vorlesung: Dienstag 11:30-13:00 Z2 Geb. 1.85
Donnerstag 11:30-13:00 1C-04
Übung: Mittwoch 11:30-13:00 1C-03
Dozenten
Dozent PD Dr. Peer Christian Kunstmann
Sprechstunde: Donnerstag, 13 - 14 Uhr
Zimmer 2.027 Kollegiengebäude Mathematik (20.30)
Email: peer.kunstmann@kit.edu
Übungsleiterin Dr. Dorothee Frey
Sprechstunde:
Zimmer Allianz-Gebäude (05.20)
Email: dorothee.frey@kit.edu

Die Vorlesung gibt eine Einführung in die harmonische Analysis. Das Gebiet ist riesig. Historisch gesehen stehen am Anfang die Untersuchungen zu Fourierreihen 2\pi-periodischer Funktionen f:{I\!\! R}\to{I\!\!\!\! C} und deren Konvergenzverhalten, sowie das Studium der Fouriertransformation auf dem {I\!\! R}^n. Das ist auch der Bereich, auf den wir uns konzentrieren werden. Grundlegend ist dabei die Tatsache, dass das Lebesguemaß auf dem {I\!\! R}^n translationsinvariant ist. Ebenso sind die
Funktionenräume L^p({I\!\! R}^n), p\in[1,\infty], und ihre Normen translationsinvariant. Translationsinvariante Operatoren, wie z.B. Ableitungsoperatoren oder Faltungsoperatoren

$
    Tf(x)=\int k(x-y)f(y)\,dy,
$

lassen sich mittels der Fouriertransformation {\cal F} schreiben als

$
    Tf={\cal F}^{-1}(\xi\mapsto m(\xi)({\cal F}f)(\xi)),
$

wobei m mit dem Integralkern k ebenfalls über die Fouriertransformation zusammenhängt. Solchen Operatoren wird unser Interesse gelten. Die entsprechenden Ergebnisse und Methoden finden insbesondere in der Theorie partieller Differentialoperatoren breite Anwendung. Im einzelnen werden wir uns beschäftigen mit Fourierreihen und deren Konvergenz, der Fouriertransformation auf dem {I\!\! R}^n, Fouriermultiplikatoren, Interpolation, Maximalfunktionen und singulären Integraloperatoren.

Voraussetzung: Funktionalanalysis ist als Hintergrund sinnvoll.


Vorlesungszusammenfassung (wird laufend aktualisiert)


Literaturhinweise

  1. Y. Katznelson, An Introduction to Harmonic Analysis, 3rd ed., 2004.
  2. E.M. Stein, Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions, Princeton University Press, 1970.
  3. E.M. Stein, Harmonic Analysis: Real Variable Methods, Orthogonality, and Oscillatory Integrals, Princeton University Press, 1993.
  4. A. Zygmund, Trigonometric series, Volumes I and II combined, 3rd edition, Cambridge University Press, 2002.
  5. J.P. Kahane, P.G. Lemarié-Rieusset, Séries de Fourier et ondelettes, Paris, Cassini, 1998.
  6. L. Grafakos, Classical and Modern Fourier Analysis, Pearson/Prentice Hall, 2004 (die zweite Auflage erschien 2008/09 bei springer in zwei Bänden).