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Arbeitsgruppe Funktionalanalysis

Sekretariat
Kollegiengebäude Mathematik (20.30)
Zimmer 2.041

Adresse
Karlsruher Institut für Technologie
Institut für Analysis
Englerstraße 2
76131 Karlsruhe


stefanie.fuchs@kit.edu
natascha.katz@kit.edu


Öffnungszeiten: hier


Übungsscheine für Analysis I, II, III (Mathematik, Lehramt Mathematik, Physik, Informatik)
Übungsscheine für HM I, II (Informatik)

zusätzlich: studienbegleitende Klausuren zu den Vorlesungen der Dozenten der Arbeitsgruppe.



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Öffnungszeiten:
siehe oben

Tel.: 0721 608 43727

Fax.: 0721 608 67650

Spectral Theory (Sommersemester 2015)

Dozent: Prof. Dr. Roland Schnaubelt
Veranstaltungen: Vorlesung (0163700), Übung (0163800)
Semesterwochenstunden: 4+2
Hörerkreis: Mathmatik, Physik (ab 6. Semester)


Termine
Vorlesung: Montag 9:45-11:15 SR 2.66 Beginn: 13.4.2015
Mittwoch 11:30-13:00 SR 2.66
Übung: Donnerstag 15:45-17:15 SR 2.66 Beginn: 16.4.2015
Dozenten
Dozent Prof. Dr. Roland Schnaubelt
Sprechstunde: Mittwoch, 10:00 - 11:00 Uhr, und nach Vereinbarung
Zimmer 2-047 (Englerstr. 2) Kollegiengebäude Mathematik (20.30)
Email: schnaubelt@kit.edu
Übungsleiter Dr. Heiko Hoffmann
Sprechstunde: nach Vereinbarung
Zimmer 2.048 Kollegiengebäude Mathematik (20.30)
Email: heiko.hoffmann@kit.edu

Das Spektrum eines linearen Operators in einem Banachraum verallgemeinert den Begriff der Eigenwerte von Matrizen. Spektraltheoretische Methoden spielen in Banachräumen eine ähnlich bedeutende Rolle wie die Eigenwertheorie im Endlichdimensionalen, und sie werden demgemäß überall in der Analysis und ihren Anwendungen eingesetzt.

Am Beginn der Vorlesung werden die grundlegenden Eigenschaften des Spektrums diskutiert. Im Hinblick auf die Anwendungen auf Differentialoperatoren erfolgt dies nicht nur für stetige lineare Abbildungen, sondern auch für eine besondere Klasse unstetiger linearer Operatoren, den abgeschlossenen Operatoren. Um Differentialoperatoren auch auf L^p Räumen untersuchen zu können, werden auch schwache Ableitungen im L^p Rahmen und die Sobolevräume eingeführt. Für zwei wichtige Klassen von Operatoren kann man recht weitgehende Aussagen über das Spektrum machen. Wir diskutieren zunächst kompakte Operatoren, bei denen das Spektrum wieder weitgehend durch Eigenwerte bestimmt ist. In diesem Kontext wird auch die sogenannte Fredholmsche Alternative bewiesen, die wesentliche Anwendungen etwa auf Integralgleichungen hat. Anschließend studieren wir (u.U. nur abgeschlossene) selbstadjungierte Operatoren auf Hilberträumen. Für diese erlaubt der Spektralsatz eine weitreichende Verallgemeinerung des Diagonalisierungssatzes für hermitesche Matrizen. Schließlich behandeln wir die Funktionalkalküle für selbstadjungierte, beschränkte und sektorielle Operatoren.

Es wird die Kenntnis der Vorlesung Funktionalanalysis oder der Vorlesung Hilberträume und Differentialgleichungen vorausgesetzt.

Prüfung

Die Modulprüfung wird mündlich durchgeführt. Die Termine sind 12.8.15 und 21.9.15.

Literaturhinweise

Auf meiner Homepage findet man die PDF Datei des Skriptums meiner Vorlesung Spectral Theory vom Sommersemester 2010. Eine aktualisierte Fassung wird vermutlich vorlesungsbegleitend erstellt werden. Einige einschlägige Monographien:

  • H.W. Alt: Lineare Funktionalanalysis. Springer.
  • H. Brezis: Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations. Springer.
  • J.B. Conway: A Course in Functional Analysis. Springer.
  • N. Dunford, J.T. Schwartz: Linear Operators. Part I: General Theory. Wiley.
  • T Kato: Perturbation Theory of Linear Operators. Springer.
  • A.E. Taylor, D.C. Lay: Introduction to Functional Analysis. Wiley.
  • D. Werner: Funktionalanalysis. Springer.