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Fakultät für Mathematik

Karlsruher Institut für Technologie
D-76128 Karlsruhe
Tel.: +49 721 608-43800

Spektraltheorie (Sommersemester 2012)

Dozent: Dr. Martin Meyries
Veranstaltungen: Vorlesung (0156400), Übung (0156500)
Semesterwochenstunden: 4+2


Termine
Vorlesung: Dienstag 15:45-17:15 1C-03
Freitag 11:30-13:00 1C-03
Übung: Mittwoch 15:45-17:15 1C-03
Dozenten
Dozent Dr. Martin Meyries
Sprechstunde:
Zimmer Allianz-Gebäude (05.20)
Email: martin.meyries@mathematik.uni-halle.de
Übungsleiter Dr. Heiko Hoffmann
Sprechstunde: nach Vereinbarung
Zimmer 2.048 Kollegiengebäude Mathematik (20.30)
Email: heiko.hoffmann@kit.edu

Inhalt

Viele in Natur und Technik auftretende Phänomene kann man durch lineare Operatoren auf Banachräumen beschreiben und sie dadurch einer rigorosen theoretischen Untersuchung zugänglich machen. Ziel der Vorlesung ist es, die entsprechend reichhaltige mathematische Struktur solcher Operatoren, wie z.B. Differential- und Integraloperatoren, im Detail zu verstehen und sie gleichzeitig in einem abstrakten funktionalanalytischen Rahmen darzustellen. Die behandelten Themen werden in vielen Bereichen der theoretischen und angewandten Analysis eingesetzt.

Der Schlüssel zum Verständnis einer n\times n-Matrix ist die aus der Linearen Algebra bekannte Eigenwerttheorie von Matrizen. Für einen Operator A auf einem Banachraum X ist das Spektrum \sigma(A) analog definiert durch \sigma(A) = \{\lambda\in \mathbb{C}\;:\; \lambda - A \textrm{ ist \underline{nicht} stetig invertierbar}\}.
In unendlichdimensionalen Räumen treten dabei viele neue Phänomene auf, die im Endlichdimensionalen verborgen bleiben. Da es Operatoren gibt, die injektiv, aber nicht surjektiv sind, muss ein Spektralwert beispielsweise nicht unbedingt einen zugehörigen Eigenvektor besitzen.

In der Vorlesung wollen wir das Spektrum verschiedener Klassen von Operatoren untersuchen und dadurch Rückschlüsse auf die Operatoren selbst ziehen. Unter anderem behandeln wir die folgenden Themen:

  • allgemeine Spektraltheorie stetiger und unstetiger Operatoren;
  • kompakte Operatoren und Fredholmsche Alternative (wann gilt injektiv \Leftrightarrow surjektiv ?);
  • normale und selbstadjungierte Operatoren auf Hilberträumen;
  • stetiger, beschränkter und holomorpher Funktionalkalkül (was soll \sqrt{\frac{\partial}{\partial x}} sein?);
  • Sobolevräume, Differentialoperatoren und Integralgleichungen.

Es wird die Vorlesung Funktionalanalysis vorausgesetzt.


Literatur

  • Skripte von Herrn Schnaubelt (pdf) und Herrn Kunstmann (pdf).
  • H.W. Alt: Lineare Funktionalanalysis. Springer.
  • J.B. Conway: A Course in Functional Analysis. Springer.
  • N. Dunford, J.T. Schwartz: Linear Operators. Part I: General Theory. Wiley.
  • T. Kato: Perturbation Theory of Linear Operators. Springer.
  • A.E. Taylor, D.C. Lay: Introduction to Functional Analysis. Wiley.
  • D. Werner: Funktionalanalysis. Springer.

Weitere Literatur findet man in der Vorlesungspräsenz der mathematischen Bibliothek.