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Fakultät für Mathematik

Karlsruher Institut für Technologie
D-76128 Karlsruhe
Tel.: +49 721 608-43800

Stochastische Differentialgleichungen (Sommersemester 2014)

Dozent: Prof. Dr. Lutz Weis
Veranstaltungen: Vorlesung (0156400), Übung (0156500)
Semesterwochenstunden: 4+2


Termine
Vorlesung: Dienstag 9:45-11:15 1C-03 Beginn: 15.4.2014
Freitag 9:45-11:15 1C-03
Übung: Mittwoch 15:45-17:15 1C-01 Beginn: 23.4.2014
Dozenten
Dozent Prof. Dr. Lutz Weis
Sprechstunde: Dienstags, 12 bis 13 Uhr und nach Vereinbarung.
Zimmer 2.042 Kollegiengebäude Mathematik (20.30)
Email: lutz.weis@kit.edu
Übungsleiter Dr. Markus Antoni
Sprechstunde: nach Vereinbarung
Zimmer 2.044 Kollegiengebäude Mathematik (20.30)
Email: markus.antoni@kit.edu

Bei der mathematischen Behandlung von Modellen der Naturwissenschaften, Technik oder Finanzwissenschaften, die sich mithilfe von gewöhnlichen Differentialgleichungen

$\frac{d}{dt}y(t) = f(t,y(t)), \quad y(0) = y_0,$

als dynamische Systeme beschreiben lassen, müssen oft zufällige Störungen des Systems berücksichtigt werden, die durch Messfehler oder zufällige Umwelteinflüsse entstehen, oder unvollständige Informationen über das Systemverhalten ausdrücken. Oft lassen sich solche Modelle mithilfe von stochastischen Differentialgleichungen der Form

$ dy(t) = f(t,y(t)) dt + d\beta(t) $

beschreiben, wobei \beta(t) für die Brown'sche Bewegung und d\beta(t) für das "weiße Rauschen" steht.

Ziel der Vorlesung ist es, die Lösungstheorie solcher stochastischen Differentialgleichungen darzustellen. Dazu geben wir nach einer kurzen Wiederholung stochastischer Grundbegriffe (z.B. Verteilungsfunktionen, unabhängige Zufallsvariablen) eine Einführung in die stochastische Analysis (stochastische Integrale, Ito-Formel, Martingale, Stoppzeiten). Mit diesen Hilfsmitteln werden dann die grundlegenden Existenz-, Eindeutigkeits- und Stabilitätssätze für stochastische Differentialgleichungen bewiesen sowie die Eigenschaften ihrer Lösungen untersucht (Markov Eigenschaft, Glattheit der Pfade).

Diese Theorie wird dann durch Anwendungen auf Gleichungen aus der Finanzmathematik, Physik, Biologie und der Technik illustriert.


Vorkenntnisse: Integrationstheorie, stochastische Grundbegriffe, Hilberträume



Übungsblätter

1. Übungsblatt zu Aufgabe 3
2. Übungsblatt zu Aufgabe 6
3. Übungsblatt
4. Übungsblatt zu Aufgabe 12 Ergänzung zur Messbarkeit von Prozessen
5. Übungsblatt zu Aufgabe 15
6. Übungsblatt
7. Übungsblatt
8. Übungsblatt
9. Übungsblatt
10. Übungsblatt zu Aufgabe 30
11. Übungsblatt
12. Übungsblatt


Prüfung

Die mündlichen Prüfungen werden an den folgenden Tagen stattfinden:

Donnerstag, 24. Juli 2014
Freitag, 25. Juli 2014
Montag, 6. Oktober 2014
Dienstag, 7. Oktober 2014
Mittwoch, 8. Oktober 2014

Zur Terminvereinbarung oder bei Fragen wenden Sie sich bitte an Frau Stefanie Fuchs oder Herrn Markus Antoni.



Literaturhinweise

  • J.M. Steele: Stochastic Calculus and Financial Applications, Springer, 2001
  • L.C. Evans: An Introduction to Stochastic Differential Equations, AMS, 2013
  • X. Mao: Stochastic Differential Equations and Applications, Woodhead Publishing, 2008