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Fakultät für Mathematik

Karlsruher Institut für Technologie
D-76128 Karlsruhe
Tel.: +49 721 608-43800

Forschungsgebiete

Die Arbeitsgruppe entwickelt funktionalanalytische Methoden zur Behandlung partieller Differentialgleichungen und wendet diese insbesondere auf parabolische Evolutionsgleichungen an. Eine zentrale Rolle spielt dabei die Spektraltheorie partieller Differentialoperatoren und die Eigenschaften ihrer Resolventen.


1. Funktionalkalküle
Wir untersuchen H^\infty-Kalküle für (bi-)sektorielle Operatoren. Dabei werden Methoden der harmonischen Analysis und der stochastischen Analysis (wie z.B. banachraumwertige Zufallsreihen) mit Methoden der Funktionalanalysis, insbesondere der Geometrie der Banachräume, kombiniert. Dieses Forschungsgebiet war (gemeinsam mit den Punkten 2 und 4) Teil des von der DFG geförderten Projekts "H^\infty-Funktionalkalkül und seine Anwendungen auf partielle Differentialgleichungen" (bis 2007).

2. Vektorwertige Harmonische Analysis und Wavelets
Es wird die Beschränktheit von Fouriermultiplikatoren und Calderon-Zygmund-Operatoren mit operatorwertigen Kernen auf Bochner- und Besovräumen nachgewiesen. Diese Operatoren werden als Hilfsmittel in den Gebieten 1, 3 und 4 eingesetzt und sie erlauben es, z.B. die Konvergenz von Waveletzerlegungen in vektorwertigen Funktionenräumen zu studieren.

3. Maximale Regularität und nichtlineare Probleme
Mit Methoden der vektorwertigen Harmonischen Analysis konnte die maximale Regularität linearer parabolischer Evolutionsgleichungen charakterisiert und eine umfassende Theorie der maximalen Regularität entwickelt werden. Solche Regularitätseigenschaften ermöglichen die Behandlung nichtlinearer parabolischer Probleme mittels Linearisierungs- und Fixpunktmethoden. So können zum Beispiel invariante Mannigfaltigkeiten für Gleichungen mit voll nichtlinearen Randbedingungen konstruiert und damit die Attraktivität von Equilibria nachgewiesen werden unter geeigneten Spektralbedingungen an die Linearisierung. Diese Fragestellungen werden im Rahmen des DFG-Projekts "Qualitatives Verhalten parabolischer Probleme mit nichtlinearen dynamischen und statischen Randbedingungen" (04/09 - 03/11) bearbeitet.

4. Stochastische Differentialgleichungen
Die Techniken aus den Gebieten 1 bis 3 haben es erlaubt, eine leistungsfähige stochastische Integrationstheorie auf Banachräumen zu entwickeln. Darauf aufbauend haben wir stochastische Differentialgleichungen für Systeme mit unendlichdimensionalem Zustandsraum gelöst und ihr qualitatives Verhalten untersucht.

5. Elliptische Differentialoperatoren und Gaußabschätzungen
Wir behandeln Regularitätseigenschaften von elliptischen Differentialoperatoren mit irregulären oder unbeschränkten Koeffizienten und den von diesen Operatoren erzeugten Halbgruppen. Im Zentrum des Interesses stehen dabei Abschätzungen der Kerne der Halbgruppen (z.B. durch den Gaußkern), die wesentlich das qualitative Verhalten des zugrundeliegenden parabolischen Problems bestimmen. Verallgemeinerungen von Gauß-Abschätzungen haben zu einer Calderon-Zygmund-Theorie für Nicht-Integraloperatoren geführt, die sich z.B. auf Riesztransformationen oder Funktionalkalküle anwenden lässt.

6. Kontrolltheorie
Fragestellungen der Kontrolltheorie (wie z.B. Wohlgestelltheit, Feedbacktheorie oder Kontrollierbarkeit) werden für parabolische und hyperbolische Probleme mit Hilfe der Theorie der Operatorhalbgruppen und den Methoden der Gebiete 1 und 3 untersucht.

7. Asymptotik linearer Evolutionsgleichungen
Die Mitglieder der Arbeitsgruppe haben zahlreiche Beiträge zur Theorie des Langzeitverhaltens linearer Evolutionsgleichungen geleistet, wobei insbesondere die Spektraltheorie und die Laplacetransformation verwendet wurden.