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Nachwuchsgruppe "Nichtlineare Helmholtzgleichungen"

Sekretariat
Kollegiengebäude Mathematik (20.30)
Zimmer 3.029

Adresse
Karlsruher Institut für Technologie
Institut für Analysis
Englerstraße 2
76131 Karlsruhe

marion.ewald@kit.edu

Zuständigkeiten:

Analysis I, II, III: für Studierende der Mathematik, Lehramt Mathematik, Physik, Informatik, Ingenieurpädagogik, Schülerstudenten

HM I, II: für Studierende der Informatik

sowie studienbegleitende Klausuren zu den Vorlesungen der Dozenten der Arbeitsgruppe.




Öffnungszeiten:
Mo-Fr: 10-12, Di+Mi: 14-16

Tel.: 0721 608 42064

Fax.: 0721 608 46530

Nachwuchsgruppe "Nichtlineare Helmholtzgleichungen"

Dies ist die Seite der Nachwuchsgruppe "Nichtlineare Helmholtzgleichungen", die seit dem 01.07.2016 als assoziiertes Projekt (AP2) dem Sonderforschungsbereich 1173 angegliedert ist.

Forschungsziele :

Ziel der Arbeitsgruppe ist, ein besseres Verständnis für nichtlineare Helmholtzgleichungen und -systeme zu entwickeln. Letztere werden in der nichtlinearen Optik zur Modellierung der Ausbreitung elektromagnetischer Wellen in nichtlinearen optischen Medien verwenden. Hierbei untersuchen wir sowohl lokal als auch (räumlich) nichtlokal interagierende optische Materialien. Im Fokus unserer Betrachtungen steht die Gleichung

$  - \Delta u + V(x)u - \lambda u = \mathcal{G}(u) \qquad\text{in }\mathbb{R}^n, \qquad u(x)\to 0\quad (|x|\to\infty)$

wobei  V,\mathcal{G} die Materialeigenschaften des Wellenleiters modellieren. Im nichtlokalen Fall ist  \mathcal{G}(x,\cdot) beispielsweise als Integraloperator gegeben. Im Gegensatz zu den zahlreichen Arbeiten über stark lokalisierte Lösungen nichtlinearer Schrödingergeichungen wird für uns von Interesse sein, wie es um Existenz und qualitative Eigenschaften von Lösungen bestellt ist, wenn \lambda im (typischerweise rein stetigen) Spektrum des Operators -\Delta+V(x) liegt. Wir erwarten, dass vollkommen andere Lösungskonzepte und -methoden zur Lösung solcher Randwerprobleme entwickelt werden müssen, zumal die wesentliche Schwierigkeiten im Vergleich zum Schrödinger-Fall \lambda\notin \sigma(-\Delta+V(x)) hinzukommen; wellenartige Oszillationen der Lösungen sowie schwache Abfallraten verkomplizieren die Analyse der Gleichungen und unser Ziel ist es, praktikable Methoden zu entwickeln, mit denen diese Schwierigkeiten überwunden werden können.

Bisherige Resultate:

  • Für gewisse radialsymmetrische Potentiale wie z.B. V(x)=-1 und eine große Klasse von Nichtlinearitäten konnten wir mit Methoden der gewöhnlichen Differentialgleichungen alle radialsymmetrischen Lösungen klassifizieren und deren Oszillationen sowie Abfallverhalten für |x|\to\infty beschreiben. Siehe Publikation 1. unten oder hier.
  • In manchen nichtlinearen optischen Materialien treten Effekte wie z.B. Doppelbrechung (Birefringenz) auf, die durch vektorielle Lösungen schwach gekoppelter Schrödingersysteme bzw. im Fall von resonanten Frequenzen durch Helmholtzsysteme beschrieben werden. Wir konnten erste Resultate zur Existenz solcher Lösungen finden. Siehe Publikation 2. unten oder hier.
  • Zur Beschreibung von photonischen Kristallen sind periodische Materialgesetze und damit periodische Potentiale V vorauszusetzen. Mit Hilfe von Floquet-Bloch-Theorie und harmonischer Analysis konnnten wir für diesen Fall ein limiting absorption principle beweisen und dieses Resultat für Existenzresultate in nichtlinearen periodischen Medien verwenden. Die fundamentale Beobachtung ist, dass eine hinreichend hohe Regularität und nichtverschwindende Gauß-Krümmung der Fermi-Flächen des Kristalls dafür sorgen, dass stehende Wellen in solchen Materialien dieselben Abfallraten wie im Vakuum besitzen. Siehe Publikation 3. unten oder hier.
  • Wir untersuchten den Effekt von Dispersion vierter Ordnung und bewiesen die Existenz nichttrivialer Lösungen. Siehe Publikation 4. unten oder hier

Beispiel für Fermiflächen für -\Delta + 10\sin(2\pi x)^2\cos(2\pi y) zum Fermi-Level \tau



Personen in der Nachwuchsgruppe Nichtlineare Helmholtzgleichungen
Name Tel. E-Mail
0721 608 46178 rainer.mandel@kit.edu
0721 608 42046 dominic.scheider@kit.edu

Aktuelles Lehrangebot
Semester Titel Typ
Sommersemester 2018 Vorlesung
Wintersemester 2017/18 Vorlesung
Seminar
Sommersemester 2017 Vorlesung


Publikationen der Nachwuchsgruppe seit 01.07.2016

  1. R.Mandel, E.Montefusco, B.Pellacci: Oscillating solutions for nonlinear Helmholtz equations. Z. Angew. Math. Phys. 68 (2017), no. 6, Art. 121, 19 pp.
  2. R.Mandel, D.Scheider: Dual variational methods for a nonlinear Helmholtz system. NoDEA Nonlinear Differential Equations Appl. 25 (2018), no. 2, 25:13.
  3. R.Mandel: The limiting absorption principle for periodic differential operators and applications to nonlinear Helmholtz equations (preprint)
  4. D.Bonheure, J.-B.Casteras, R.Mandel: On a fourth order nonlinear Helmholtz equation, erscheint in JLMS.
  5. R.Mandel, D.Scheider: Bifurcations of nontrivial solutions of a cubic Helmholtz system (preprint)
  6. R.Mandel: Uncountably many solutions for nonlinear Helmholtz and curl-curl equations with general nonlinearities (preprint)

Publikationen im Projekt B3 des SFB 1173 seit 01.07.2016

Weitere Forschungsaktivitäten