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Arbeitsgruppe 2: Numerik partieller Differentialgleichungen

Sekretariat
Kollegiengebäude Mathematik (20.30)
Zimmer 3.012

Adresse
Hausadresse:
Zimmer 3.012
Mathematikgebäude (20.30)
Englerstraße 2
D-76131 Karlsruhe

Postadresse:
Institut für Angewandte und
Numerische Mathematik 2
Karlsruher Institut für Technologie (KIT)
D-76049 Karlsruhe

Öffnungszeiten:
Mo. bis Do.: 10:00-11:30 Uhr

Tel.: 0721 608 42680

Fax.: 0721 608 46679

Numerik mit Ergebnisverifikation II (Wintersemester 2007/08)

Dozent: Prof. a.D. Dr. Edgar Kaucher
Veranstaltungen: Vorlesung (1098), Übung (1099)
Semesterwochenstunden: +
Hörerkreis: alle (ab 5. Semester)


Kurzbeschreibung

Numerik mit Ergebnisverifikation II

Diese 4-stündige Vorlesung ist eine Fortführungsvorlesung und baut auf den Ergebnissen von Kurs I auf. Sie ist Teil II eines im 2-semestrigen Zyklus „Numerik mit Ergebnisverifikation“ I, II mit insgesamt 8 (gegf. mit Übungen) bis bis 12 Wochenstunden.

Die Vorlesung entwickelt die benötigten Elemente und kann daher relativ selbstständig gehört werden. Kenntnisse aus der Vorlesung Numerik mit Ergebnisverifikation I und Numerik III sind vorteilhaft, aber nicht zwingend notwendig.

Termine
Vorlesung: Mittwoch 9:45-11:15 Seminarraum 13
Donnerstag 11:30-13:00 Seminarraum 13
Übung:
Dozenten
Dozent, Übungsleiter Prof. a.D. Dr. Edgar Kaucher
Sprechstunde:
Zimmer Allianz-Gebäude (05.20)
Email:

Kontext der Vorlesung

Diese 4-stündige Vorlesung ist Teil II eines im 2-semestrigen Zyklus „Numerik mit Ergebnisverifikation“ I, II mit insgesamt 8 (gegf. mit Übungen) bis bis 12 Wochenstunden.

Derzeit ist der Zyklus:

Im Sommersemester „Numerik mit Ergebnisverifikation I“
Im Wintersemester „Numerik mit Ergebnisverifikation II“

Der „Verifikationsprozess“ ist ein automatisierten, algorithmischer Beweis für mathematische Aussagen über die dadurch gleichzeitig berechnete Lösung, wie zum Beispiel (lokale) Existenz und Eindeutigkeit der Lösungen. Außerdem sind damit Einschließungsmengen (Mengen, deren Durchmesser die Berechnungsgenauigkeit sichern und i.d.R. beliebig vorgegeben werden kann) berechnet in denen die Lösung mit mathematischer Garantie enthalten ist.

„Verifikation“ bedeutet, dass alle numerischen Ergebnisse durch programmierte Beweisschritte in ihrer Zuverlässigkeit gesichert sind. Diese hohe Sicherheitsanforderung wird immer mehr zum Qualitätsstandard in den technologischen und industriellen Applikationen. „Verifikation“ ist gleichbedeutend mit „Mathematisch bewiesen“ obwohl die Berechnungen mit rundungsfehlerbehafteten Arithmetiken durchgeführt werden können.

Die hergeleiteten Methoden sind die Grundlage für numerische Verifikationsprozesse (auf Rechnern), welche massive Anwendung finden im Risikomanagement und in Zuverlässigkeitsanalysen bei Modellen, Formeln und Programmen, bis hin zu Beweisen von mathematischen Theoremen.

Inhalt

Die Vorlesung führt ein in die Methoden zur verifizierten Berechnung der Lösung von Differential- und Integralgleichungen als auch von unendlichen linearen und nichtlinearen Gleichungssystemen.
Dabei wird es möglich, je nach Aufgabenstellung, die lokale Existenz und Eindeutigkeit der Lösung numerisch in einer simultan berechneten Menge von kleinem (evtl. vorgegebenem) Durchmesser zu beweisen, in der die Lösung liegt bzw. die die Lösung darstellt. Bei unendlichen Gleichungssystemen wird die (unendliche) Zahlenfolge der Lösung in einer (unendlichen) Intervallfolge eingeschlossen und verifiziert. Anhand von Übungsbeispielen wird die Theorie und Ihre Anwendung veranschaulicht.

Die hergeleiteten Methoden sind die Grundlage für numerische Verifikationsprozesse (auf Rechnern), welche massive Anwendung finden im Risikomanagement und Zuverlässigkeitsanalysen bei Modellen, Formeln, Programmen, bis hin zu Beweisen von mathematischen Theoremen

„Verifikation“ bedeutet, dass alle numerischen Ergebnisse durch programmierte Beweisschritte in ihrer Zuverlässigkeit gesichert sind. Diese hohe Sicherheitsanforderung wird immer mehr zum Qualitätsstandard in den technologischen und industriellen Applikationen. „Verifikation“ ist gleichbedeutend mit „Mathematisch bewiesen“ obwohl die Berechnungen auf Rundungsfehler behafteten Artihmetiken beruht.