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Institut für Angewandte und Numerische Mathematik 4: Numerische Simulation, Optimierung und Hochleistungsrechnen

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Der Modellansatz: Modell037 - Metallschaum

modellansatz.de/metallschaum

Bei genauem Hinsehen finden wir die Naturwissenschaft und besonders Mathematik überall in unserem Leben, vom Wasserhahn über die automatischen Temporegelungen an Autobahnen, in der Medizintechnik bis hin zum Mobiltelefon. Woran die Forscher, Absolventen und Lehrenden in Karlsruhe gerade tüfteln, erfahren wir im Modellansatz Podcast aus erster Hand.

Der Modellansatz: Metallschaum, Foto: A.August

In den Materialwissenschaften ist man immer auf der Suche nach neuen Werkstoffen und Materialien. Sehr vielversprechend sind dabei Metallschäume, dessen Wärmeleitungseigenschaften Anastasia August am Institut für angewandte Materialien erforscht und über die sie uns im Gespräch mit Sebastian Ritterbusch erzählt.

Zu den besonderen Eigenschaften von Metallschäumen gehören unter anderem die große Oberfläche bzw. Grenzfläche im Verhältnis zum Volumen wie bei Lungenbläschen und die hohe Wärmeleitungsfähigkeit im Verhältnis zum Gewicht. Gleichzeitig können Metallschäume mit Luft oder anderen Materialien wie Paraffin gefüllt werden, um besondere Eigenschaften zu erhalten. Neben Bierschaum ist auch der Badeschaum eine Möglichkeit Schäume mit ihrem außergewöhnlichem Verhalten kennenzulernen. Das geschäumte Materialgemisch erhält dabei aber typischerweise nicht durchschnittliche Materialeigenschaften, sondern es können Eigenschaften der einzelnen Materialien teilweise kombiniert werden; z.B. erhält ein Metall-Paraffinschaum eine recht hohe Wärmeleitfähigkeit vom Metall gepaart mit einer hohen Wärmekapazität und vor Allem mit einem günstigen Schmelzpunkt (45-80°C) vom Paraffin und ist damit ein sehr effizienter Latentwärmespeicher.

In der Natur finden sich Schaumstrukturen zum Beispiel in Knochen, die bei hoher Stabilität ein deutlich geringeres Gewicht als ein massives Material haben. Aber auch für Knochenimplantate sind Metallschäume aus Titan durch die hohe Stabilität bei geringem Gewicht und guter Verträglichkeit sehr interessant.

Problematisch ist für den Einsatz von Metallschäumen, dass noch viele quantitative Messgrößen fehlen, die Herstellung noch recht teuer ist, und insbesondere nur in kleinen Größen produziert werden kann. Als Unterscheidungsmerkmal hat sich neben der Unterscheidung in offen oder geschlossen porigen Schaum die ppi-Zahl als Maß für die Porendichte etabliert, dabei zählt man die Poren pro Inch (Zoll, entspricht 2,54 cm). Dazu erfasst man auch die mittlere Porengröße (Durchmesser), ihre Standardabweichung, die Porosität, die mittlere Stegdicke und deren Form. Weiterhin können sich Größen in verschiedenen Richtungen im Material unterscheiden, und dadurch merklich deren Eigenschaften verändern.

Für die Herstellung von Metallschäumen gibt es unterschiedliche Verfahren: Zwei typische Vertreter sind das Pressen mit dem anschließenden Schmelzen von gemischtem Metall- und Metallhybridpulvern für geschlossen porige feste Schäume oder Gießverfahren, wo der Metallschaum für offen porige Materialien durch keramische Negativabbildungen von Polyurethan-Schäumen nachempfunden wird.

Schon früh waren Schäume als möglichst dichte Packungen ein Forschungsfeld in der Mathematik. Im Jahr 1994 haben Weaire-Phelan eine noch optimalere regelmäßige Schaumstruktur veröffentlicht, die in der Architektur des zu den olympischen Sommerspielen 2008 in Peking errichteten Nationalen Schwimmzentrums verewigt wurde. Das ebenfalls zu den Sommerspielen errichtete Vogelnest hat im Gegenteil eine zufälligere Struktur.

Lange hatte man keine verlässlichen Aussagen über die Wärmeleitfähigkeit von Metallschäumen. Bei einer Leitfähigkeit von etwa 200 W/(mK) von Aluminium erreicht ein Metallschaum Leitfähigkeiten zwischen 5-13 W/(mK) während man bei Luft von einer Leitfähigkeit von etwa 0.025 W/(mK) ausgehen kann. Außerdem haben Metallschäume einen hohen Oberflächenanteil, dies bezeichnet die vorhandene Oberfläche im Verhältnis zum Volumen. Während ein voller Metallwürfel ein Verhältnis von etwa 6~m^2/m^3 hat, kann ein Schaum ein Verhältnis von bis zu 500~m^2/m^3 erreichen.

Eine interessante Fragestellung ist auch, ab welcher Porengröße die natürliche Konvektion in mit Luft gefüllten Metallschäumen eine Rolle gegenüber der Wärmeleitung spielt. Die relevante Größe ist hier die Rayleigh-Zahl, die für Metallschäume typischer Porengrößen ergibt, dass die natürliche Konvektion zu vernachlässigen ist.

Für die Simulation wird der komplette Raum des Metallschaums diskretisiert, und es gibt eine Funktion, die als Indikatorfunktion anzeigt, ob an diesem Punkt Metall oder Luft vorliegt. Hier können sowohl aus an der Hochschule Pforzheim durchgeführten Schnitten rekonstruierte Schaumstrukturen abgebildet werden, aber auch künstlich mit Algorithmen erzeugte Schäume für die Simulation abgebildet werden. Bei der künstlichen Erzeugung von Schäumen ist die Voronoi-Zerlegung ein wichtiger Algorithmus zur Bestimmung der Poren.

Der eigentliche Wärmetransport im Metallschaum wird durch die Wärmeleitungsgleichung \frac{\partial}{\partial t} u(\vec x,t) = a\Delta u(\vec{x},t) modelliert. Sie leitet sich aus dem Energieerhaltungssatz und dem Fourierschen Satz ab. Dieses Modell stimmt aber in dieser Form nur für homogene Materialien mit konstantem Koeffizienten a. Daher müssen die Sprünge in Materialeigenschaften (etwas im Übergang Luft-Metall) zusätzlich berücksichtigt werden. Dies kann über die Phasenfeldmethode realisiert werden, wo eine künstliche, diffuse Übergangsschicht zwischen den Materialien eingeführt wird. Dies ist im Prinzip eine Art von Mollifikation, wo ein Sprung durch eine glatte monotone Funktion angenähert wird. Wenn dies zusätzlich mit der Berücksichtung der anisotropen Eigenschaften der Übergangsschicht ergänzt wird, erhält man eine Basis für die in PACE 3D implementierte Simulationsmethode, die mit verschiedenen analytischen Ergebnissen und kommerziellen Softwareprodukten erfolgreich validiert werden konnte.

Die Phasenfeldmethode und die Software Pace3D stammt ursprünglich aus der Simulation von Erstarrungs- und Schmelzvorgängen auf der Mikrometerskala. Metalle erstarren in Form von sogenannten Dendriten. Das sind Kristalle, die eine gewisse Ähnlichkeit mit Schneeflocken aufweisen.

Eine interessante Anwendung von Metallschäumen bietet das mutige Silent Power PC Projekt (inzwischen offline- Link auf Archive.org), in dem ein Metallschaum den einen Rechner effizient kühlen soll. Aus den bisherigen Erkenntnissen der Arbeitsgruppe ist anzunehmen, dass ein Großteil der Kühlleistung in einem solchen System auf der Wärmeleitung liegt - für einen Einfluss der natürlichen Konvektion scheint die Porengröße zu klein zu sein.

Die Faszination für Wissenschaft inspiriert Anastasia August nicht nur in der Forschung, sondern sie demonstriert sie auch auf Science Slams und im FameLab. Sie hielt dort Vorträge über ihr Forschungsgebiet und auch über das sehr unterschätzte Thema der Stetigkeit und die Anwendung auf Temperaturen auf der Erdkugel. Mit dem Vortrag auf dem Science Slam Vorentscheid in Esslingen zu Metallschäumen hat sie sich für die Meisterschaft am 6. Dezember qualifiziert, und hat in Berlin mit dem Slam Wärme speichern wie ein Bär das Publikum begeistert.


Literatur und Zusatzinformationen