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Institut für Angewandte und Numerische Mathematik 4: Numerische Simulation, Optimierung und Hochleistungsrechnen

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Der Modellansatz: Modell087- Perkolation

modellansatz.de/perkolation

Bei genauem Hinsehen finden wir die Naturwissenschaft und besonders Mathematik überall in unserem Leben, vom Wasserhahn über die automatischen Temporegelungen an Autobahnen, in der Medizintechnik bis hin zum Mobiltelefon. Woran die Forscher, Absolventen und Lehrenden in Karlsruhe gerade tüfteln, erfahren wir im Modellansatz Podcast aus erster Hand.

Der Modellansatz: Perkolation, Visualisierung: S.Ziesche

Sebastian Ziesche hat bei Martin Zerner an der Universität in Tübingen Perkolationstheorie kennen gelernt und sich von der Faszination seines akademischen Lehrers anstecken lassen. Er hat nach dem Diplom in Karlsruhe in der Arbeitsgruppe von Günter Last das Vorhaben verfolgt, die Perkolationsmethoden auf zufällige Mosaike zu erweitern und darüber zu promovieren. Dieses Projekt hat er Anfang 2016 erfolgreich abgeschlossen.

Perkolation ist ein Modell der statistischen Physik zur Modellierung poröser Strukturen mit Hilfe von Zufallsprozessen. Es geht dabei vor allem um die Quantifizierung von Durchlässigkeit. Als einfachstes Beispiel kann man sich ein regelmäßiges Gitter z.B. in der Ebene oder im Raum vorstellen, in dem jeder Knoten zufällig und unabhängig von allen anderen Knoten mit Wahrscheinlichkeit 1-p entfernt wird. Eine wichtige Frage ist, wie groß Zusammenhangskomponenten in so einer Struktur sein können. Dieses Modell hat nur einen Parameter (mit welcher Wahrscheinlichkeit p verbleibt ein Knoten im Gitter oder nicht) um verschiedene Strukturen unterscheidbar zu machen.

Untersuchte Eigenschaften der Zusammenhangskomponeten bzw. Cluster sind Fragen nach deren Durchmesser oder Volumen. In der Regel eignet sich das Zählen von Knoten gut als Entfernungsmaß. Insbesondere die Frage, ob Cluster unendlich groß sein können erweist sich als interessant. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es unendlich große Cluster gibt, hängt von dem Parameter p ab und ist entweder 0 (unwahrscheinlich) oder 1 (d.h. fast sicher). Das liegt daran, dass nach dem Null-Eins-Gesetz von Kolmogorov Ereignisse, die nicht vom Zustand endlich vieler Knoten abhängen, nur die Wahrscheinlichkeit 0 oder 1 haben können. Nach Überschreiten eines gewissen (sogenannten kritischen) Parameters wird also die Wahrscheinlichkeit, dass es einen unendlich großes Cluster gibt, von 0 auf 1 springen.

Das Verhalten im ebenen Fall ist deutlich besser verstanden und zeigt im Dreiecks-Gitter eine gewisse Dualität, da immer entweder die vorhandenen oder die gelöschten Knoten einen unendlich großen Cluster bilden (außer im kritischen Fall). Im drei-dimensionalen Fall hingegen könnten unendlich große Cluster in beiden Mengen gleichzeitig existieren, falls der kritische Parameter kleiner als 1/2 ist.

Mathematisch ist das gar nicht so einfach zu untersuchen. Ein typisches Verfahren ist es, Würfel der Kantenlänge n als Repräsentanten in allen möglichst vielen Realisierungen zu simulieren (die uns verfügbare Rechenleistung begrenzt dabei die Anzahl simulierbarer Realisierungen) und aus den so gewonnenen Strukturbeobachtungen auf das unendlich große Gebiet zu schließen. Die Perkolationstheorie fragt anders herum auch nach lokalen Konsequenzen aus dem Wissen um die Existenz unendlich großer Cluster. Die FKG-Ungleichung ist hier in beiden Richtungen (von lokal nach global und umgekehrt) ein Hauptwerkzeug.

Sebastian Ziesche hat die Perkolationstheorie, die auf Gittern verstanden ist, auf zufällige Graphen erweitert. In einem zweistufigen Prozess wird also zunächst ein zufälliges Gitter erzeugt, das dann ausgedünnt wird. Ein Beispiel ist ein Voronoi-Mosaik. Die Methoden der klassischen Perkolationstheorie müssen durch Methoden ergänzt werden, die die besonderen geometrische Eigenschaften ausnutzen.

In unserem Gespräch unterhielten wir uns außerdem darüber, wie wichtig es ist, dass Wissenschaftler den richtigen Rahmen finden, um junge Leute für ihre Themen zu begeistern und dass die Arbeit am Promotionsprojekt durchaus nicht geradlinig ist sondern von (postiven wie negativen) Überraschungen geprägt ist. Vieles lässt sich zu Beginn nicht absehen.

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