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Arbeitsgruppe 4: Inverse Probleme

Sekretariat
Kollegiengebäude Mathematik (20.30)
Zimmer 1.041

Adresse
Institut für Angewandte und Numerische Mathematik
Englerstr. 2
D-76131 Karlsruhe

Email: agip-sekretariat@ianm.kit.edu

Öffnungszeiten:
Montag - Freitag 11:00-12:00 und 13:00-15:00 Uhr

Tel.: 0721 608 42051

Fax.:

Integralgleichungen (Sommersemester 2008)

Dozent: PD Dr. Frank Hettlich
Veranstaltungen: Vorlesung (1562), Übung (1563)
Semesterwochenstunden: 4+2
Hörerkreis: Mathematik (ab 6. Semester)

Die Vorlesung richtet sich an Studierende aller Mathematikstudiengänge nach dem Vordiplom. Behandelt werden Integralgleichungen zweiter Art und deren Lösungstheorie, die Riesz-Fredholm Theorie. Weitere Themen sind die Fouriertransfomation und die Behandlung von Faltungsgleichungen.

Voraussetzung zum Verständnis des behandelten Stoffes sind die Grundvorlesungen bis zum Vordiplom. Notwendige Mittel der Funktionalanalysis werden in der Vorlesung bereitgestellt. Die Vorlesung kann aber auch als Vertiefung und Anwendung der aus der Funktionalanalysis bekannten Begriffe und Methoden angesehen werden.


Termine
Vorlesung: Montag 11:30-13:00 Seminarraum 12 Beginn: 14.4.2008
Mittwoch 11:30-13:00 Seminarraum 12
Übung: Freitag 11:30-13:00 Seminarraum 12
Dozenten
Dozent PD Dr. Frank Hettlich
Sprechstunde: Mittwoch 10:30-12:00 Uhr und nach Vereinbarung
Zimmer 1.042 Kollegiengebäude Mathematik (20.30)
Email: frank.hettlich@kit.edu
Übungsleiter Prof. Dr. Sebastian Ritterbusch
Sprechstunde: nach Absprache
Zimmer Kollegiengebäude Mathematik (20.30)
Email: sebastian.ritterbusch@partner.kit.edu

Zum Inhalt der Vorlesung

Eine Gleichung der Form

$ u(t) - \int_a^b k(t,s) \, u(s) \, ds = f(t), \qquad t \in (a,b), $

bei der die Unbekannte Funktion u zu bestimmen ist, bezeichnet man als eine (Fredholm)-Integralgleichung zweiter Art. Die wesentliche Fragestellung der Vorlesung ist, unter welchen Umständen eine solche Gleichung eindeutig lösbar ist. Eine Reihe von Aspekten hat hierauf Einfluss, hier eine Auswahl:

  • Die Glattheit der Kernfunktion k des Integraloperators ist wesentlich für seine Abbildungseigenschaften. Wir werden im wesentlichen stetige oder schwach singuläre Kerne betrachten, die auf kompakte Integraloperatoren führen.
  • Der Raum, in dem die Lösung gesucht wird, kann unterschiedlich gewählt werden. Typischerweise betrachtet man solche Integralgleichungen in den Räumen C[a,b] oder in L^2(a,b).
  • Die Intervallgrenzen a, b haben in sofern einen wesentlichen Einfluss, dass kompakte Intervalle zu einem ganz anderen Verhalten der Integraloperatoren führen als unbeschränkte Intervalle.

In einem großen Teil der Vorlesung wollen wir uns mit der Theorie für solche Integralgleichungen auseinandersetzen, der Riesz-Fredholm Theorie. Der Beweis der drei Rieszschen Sätze und der Fredholmschen Alternative bilden hierbei das Ziel. Im weiteren Verlauf beschäftigen wir uns mit Erweiterungen und Anwendungen dieser Begriffe, etwa mit der Potenzialtheorie.

Bei Faltungsintegralgleichungen ist der Integraloperator im Allgemeinen nicht kompakt, sodass andere Methoden erforderlich sind. In der Vorlesung werden wir auch solche Gleichungen diskutieren. Ziel ist der Satz von Wiener, der zusammen mit den Abbildungseigenschaften der Fouriertransformation eine allgemeine Loesungstheorie liefert.

Übungsblätter

Begleitend zur Vorlesung gibt es Übungsblätter und eine Übung, in der der Stoff der Vorlesung an Aufgaben vertieft und eingeübt werden kann.

DatumÜbungsblattLösungen

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Skriptum (pdf-Dateien)

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Fragebogen

Es gibt einen kleinen Fragebogen zum Selbsttest mit Aufgaben zur Vorlesung- wir freuen uns über Korrekturen, aber auch Eindrücke und Meinungen zur Nutzung solcher Lehrmedien.