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Arbeitsgruppe 4: Inverse Probleme

Sekretariat
Kollegiengebäude Mathematik (20.30)
Zimmer 1.041

Adresse
Institut für Angewandte und Numerische Mathematik
Englerstr. 2
D-76131 Karlsruhe

Email: agip-sekretariat@ianm.kit.edu

Öffnungszeiten:
Montag - Freitag 11:00-12:00 und 13:00-15:00 Uhr

Tel.: 0721 608 42051

Fax.:

Numerische Methoden für Integralgleichungen (Wintersemester 2018/19)

Dozent: PD Dr. Tilo Arens
Veranstaltungen: Vorlesung (0112600), Übung (0112610)
Semesterwochenstunden: 4+2


In der Vorlesung wird es um die mathematischen Grundlage der Lösung von Integralgleichungen durch den Computer gehen. Im wesentlichen wollen wir dabei lineare Fredholm-Gleichungen der zweiten Art behandeln, wie sie in der Vorlesungs Integralgleichungen theoretisch betrachtet werden. Wir werden verschiedene Verfahren kennen lernen, jeweils mit deren Stabilitäts- und Konvergenzeigenschaften.

Die Vorlesung wird durch ein numerisches Praktikum komplementiert, in dem die Verfahren auf Randintegralgleichungen angewandt werden sollen. Grundlage für dieses Praktikum ist das MATLAB Paket BIEPack, das vom Dozenten entwickelt wird. Durch die erfolgreiche Teilnahme am Praktikum kann ein Notenbonus für die mündliche Prüfung über dieses Modul erlangt werden.


Termine
Vorlesung: Montag 11:30-13:00 SR 3.68
Donnerstag 9:45-11:15 SR 3.68
Übung: Freitag 11:30-13:00 SR 3.68
Dozenten
Dozent PD Dr. Tilo Arens
Sprechstunde: Mittwoch 11:00-12:00 Uhr
Zimmer 1.046 Kollegiengebäude Mathematik (20.30)
Email: tilo.arens@kit.edu
Übungsleiter M.Sc. Felix Hagemann
Sprechstunde: Montag 13:00 - 14:00
Zimmer 1.049 Kollegiengebäude Mathematik (20.30)
Email: felix.hagemann@kit.edu

ILIAS Seite

Die Vorlesungsmaterialien (Skript, Übungsaufgaben) sowie aktuelle Informationen stellen wir den Teilnehmern der Lehrveranstaltung über die ILIAS-Seite des Kurses zur Verfügung:

https://ilias.studium.kit.edu/goto.php?target=crs_871942&client_id=produktiv

Insbesondere werden wir für die dort angemeldeten Mitglieder Accounts für den Rechner-Pool, indem die Übungen stattfinden, einrichten.

Inhaltsübersicht

Im Laufe der Vorlesung werden wir die folgenden Themen behandeln:

Randintegraloperatoren

Integralgleichungen ergeben sich in der Praxis häufig als Formulierungen von Randwertproblemen für partielle Differentialgleichungen. Wir werden beispielhaft einige Differentialoperatoren, die zugehörigen Potentiale und die sich daraus ergebenden Randintegraloperatoren behandeln. Im Falle eines beschränkten, einfach zusammenhängenden, glatten Gebiets D \subseteq \mathbm{R}^2 können diese Operatoren als lineare Integraloperatoren auf Räumen periodischer Funktionen aufgefasst werden. Dies bildet die Grundlage für Implementierungen dieser Operatoren.

Interpolation

Für die Diskretisierung von Integraloperatoren ist die Approximation der Integranden durch Interpolation eine entscheidende Technik. Es soll an die bekannten Resultate aus der Numerik I erinnert werden. Diese werden in einem funktionalanlytischem Rahmen dargestellt und erweitert.

Quadraturformeln

Die Approximation von Integralen geschieht durch Quadraturformeln. Neben klassischen interpolatorischen Formeln, werden wir Techniken zur Berechnung von singulären Integralen behandeln, etwa Produktintegration oder speziell angepasste Formeln.

Approximation durch degenerierte Kernfunktionen

Ist die Kernfunktion eines linearen Integraloperators separabel, so ist die zugehörige Integralgleichung äquivalent zu einem linearen Gleichungssystem. Im Falle einer stetigen Kernfunktion kann diese durch Summen separabler Kerne approximiert werden. Konvergenz und Stabilitätsaussagen werden wir bei diesem Verfahren direkt aus dem Störungslemma gewinnen können.

Nyström-Verfahren

In einem Nyström-Verfahren werden die Integraloperatoren direkt durch Quadraturformeln ersetzt. Wir werden zeigen, dass die resultierenden diskreten Operatoren niemals in der Operatornorm gegen den Integraloperator konvergieren können. Allerdings bilden die diskreten Operatoren Folgen von kollektiv kompakten Operatoren, die punktweise konvergieren. Hiermit lässt sich zeigen, dass das Nyström-Verfahren stabil ist und mit dieselbe Konvergenzordnung besitzt, wie die verwendete Quadraturformel.


Projektionsverfahren

Wendet man einen Projektionsoperator auf beide Seiten der Integralgleichung an, so erhält man ein Projektionsverfahren. Die wichtigsten Beispiele sind Interpolationsoperatoren, die auf Kollokationsverfahren führen, sowie Orthogonalprojektionen, die Galerkin-Verfahren ergeben. Die Grundlage für Konvergenzaussagen bildet das Cea-Lemma.

Prüfung

Das Modul wird in einer mündlichen Prüfung von ca. 30 Minuten Dauer abgeprüft. Durch erfolgreiche Teilnahme am Rechnerpraktikum kann ein Notenbonus erworben werden.