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Arbeitsgruppe 4: Inverse Probleme

Sekretariat
Kollegiengebäude Mathematik (20.30)
Zimmer 1.041

Adresse
Institut für Angewandte und Numerische Mathematik
Englerstr. 2
D-76131 Karlsruhe

Email: agip-sekretariat@ianm.kit.edu

Öffnungszeiten:
Montag - Freitag 11:00-12:00 und 13:00-15:00 Uhr

Tel.: 0721 608 42051

Fax.:

Selbsttest 1 - Vektoren und lineare Gleichungssysteme

Sie haben hier die Gelegenheit zu einem kleinen Selbsttest: Auch wenn Sie die Aufgaben hier auf dem Monitor sehen, werden Sie ein Blatt und einen Stift in die Hand nehmen müssen. Versuchen Sie die Aufgaben mathematisch auf dem Papier korrekt zu lösen- das wird in den Klausuren später wichtiger sein, als "korrekte" Antworten selbst- und tragen Sie dann Ihre Antworten ein. Wenn Sie überhaupt nicht weiterkommen, so drücken Sie auf (Hilfe).

Fragen Sie sich bei jeder Aufgabe:

  1. Sind Ihnen alle Begriffe klar?
  2. Wissen Sie wonach gefragt wird und was die Antworten genau bedeuten?
  3. Was sind Ihre Argumente für Ihre Antworten, bzw. können Sie sie belegen?

Bei Fragen zu den Aufgaben, den Lösungen, Korrekturen oder sogar Vorschlägen für weitere Aufgaben oder Hinweise wenden Sie sich bitte an Ihre Übungsleiter. Am Ende können Sie die Auswertung abrufen. Darin sehen Sie, welche Fragen Sie richtig beantwortet haben.



1) Gegeben sind die folgenden Vektoren aus dem \mathbb{C}^3:

$ a=\left(\begin{array}{c}1&3&2\end{array}\right)\,,\quad b=\left(\begin{array}{c}2&1&-1\end{array}\right)\,,\quad c=\left(\begin{array}{c}1-i&2i-2&2\end{array}\right)\,,\quad d=\left(\begin{array}{c}-4&3&7\end{array}\right)\,,\quad e=\left(\begin{array}{c}1&-2&1+i\end{array}\right)$

Wählen Sie die korrekten Aussagen über die angegebenen Mengen dieser Vektoren aus: (Hilfe)

linear unabhängiglinear abhängigBasis des \mathbb{C}^3Erzeugendensystem des \mathbb{C}^3 (*)
\{a,c,e\}
\{a,b,c\}
\{b,d\}
\{a,d\}
\{c,e\}
\{a,b,d\}
\{b,c,d,e\}

(*) D.h. der \mathrm{span} der Menge ergibt den \mathbb{C}^3.



2) Gegeben sind die folgenden Ebenen und Geraden im \mathbb{R}^3:

$E:\ x_1-x_2+2x_3=1\,,\quad F:\ x(\lambda,\mu)= \left(\begin{array}{c}2&0&2\end{array}\right) +\lambda \left(\begin{array}{c}2&-2&1\end{array}\right) + \mu \left(\begin{array}{c}2&1&-2\end{array}\right)\,,\ \lambda,\mu\in\mathbb{R}\,,$

$G:\ x(\alpha)= \alpha \left(\begin{array}{c}1&1&0\end{array}\right)\,,\ \alpha\in\mathbb{R}\,,\quad H:\ x(\beta)=\left(\begin{array}{c}1&-1&0\end{array}\right)+ \beta \left(\begin{array}{c}2&1&2\end{array}\right)\,,\ \beta\in\mathbb{R}$

Existieren die angegebenen Schnitte? Wenn ja, bestimmen Sie die Schnittpunkte! Wenn nicht, sind sie vielleicht parallel? (Hilfe)

Kein Schnitt\frac13(6,-2,2)^\top\frac15(3,-6,-2)^\top(2,2,0)^\top(2,1,0)^\topParallel
E\cap H
G\cap H
F\cap G
E\cap G

3)Seien die Vektoren a,b\in\mathbb{R}^3 gegeben. Vereinfachen Sie folgenden Ausdruck: (2a)\times b-b\times a: (Hilfe)


4) Welche der folgenden Gleichungssysteme haben dieselbe Lösung? (Hilfe)
(I) \begin{cases}x_1+x_2+x_3=24\\4x_1-x_2+x_3=25\\x_1-x_2+2x_3=22\end{cases}
(II) \begin{cases}4x_1-5x_2-x_3=50\\8x_1-x_2+7x_3=82\\x_1+x_2+x_3=7\end{cases}
(III) \begin{cases}2x_1+3x_2+4x_3=79\\4x_1+2x_2+3x_3=70\\3x_1+4x_2+2x_3=67\end{cases}

(I) und (II)(I) und (III)(II) und (III)

haben dieselbe Lösung.


5) Gegeben sei das folgende lineare Gleichungssystem in Abhängigkeit von einem Parameter a\in\mathbb{R}:

\begin{array}{rcl}ax-\,y+2z&=&-2 \\ x-\,y+\,z&=&-1 \\-x+2y-3z&=&3 \end{array}

a) Für welches a gibt es unendlich viele Lösungen? (Hilfe)

a=-1a=0a=2

b) Welcher Wert ergit sich für y im Falle a=1?







In eigener Sache: Diese Fragebögen sind ein Pilotprojekt. Bitte senden Sie den Übungsleitern Ihre Eindrücke über den Sinn oder Unsinn solcher Angebote und wie es Ihnen eventuell in der Vorbereitung helfen konnte.