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Arbeitsgruppe 4: Inverse Probleme

Sekretariat
Kollegiengebäude Mathematik (20.30)
Zimmer 1.041

Adresse
Institut für Angewandte und Numerische Mathematik
Englerstr. 2
D-76131 Karlsruhe

Email: agip-sekretariat@ianm.kit.edu

Öffnungszeiten:
Montag - Freitag 11:00-12:00 und 13:00-15:00 Uhr

Tel.: 0721 608 42051

Fax.:

Selbsttest 5 - Determinanten und Basiswechsel

Sie haben hier die Gelegenheit zu einem kleinen Selbsttest: Auch wenn Sie die Aufgaben hier auf dem Monitor sehen, werden Sie ein Blatt und einen Stift in die Hand nehmen müssen. Versuchen Sie die Aufgaben mathematisch auf dem Papier korrekt zu lösen- das wird in den Klausuren später wichtiger sein, als "korrekte" Antworten selbst- und tragen Sie dann Ihre Antworten ein. Wenn Sie überhaupt nicht weiterkommen, so drücken Sie auf (Hilfe).

Fragen Sie sich bei jeder Aufgabe:

  1. Sind Ihnen alle Begriffe klar?
  2. Wissen Sie wonach gefragt wird und was die Antworten genau bedeuten?
  3. Was sind Ihre Argumente für Ihre Antworten, bzw. können Sie sie belegen?

Bei Fragen zu den Aufgaben, den Lösungen, Korrekturen oder sogar Vorschlägen für weitere Aufgaben oder Hinweise wenden Sie sich bitte an Ihre Übungsleiter. Am Ende können Sie die Auswertung abrufen. Darin sehen Sie, welche Fragen Sie richtig beantwortet haben.



1) Sei A eine n\times n-Matrix mit \det(A)=1 und \lambda eine reelle Zahl. Die Matrix B entsteht aus der Matrix A durch die angegebene Operation, was ist dann der Wert von \det(B)? (Hilfe)

\det(B)=\ldots1-1(-1)^n(-1)^{n+1}\lambda\lambda^n
a) Vertauschung zweier Spalten
b) Multiplikation der Matrix mit \lambda
c) Addition des \lambda-fachen einer Zeile zu einer anderen
d) Multiplikation einer Zeile mit \lambda
e) letzte Zeile entnehmen und über der ersten Zeile einfügen
f) B=C^{-1}AC mit C\in\mathbb{R}^{n\times n}, \det(C)=\lambda\not=0



2) Berechnen Sie die Determinanten der folgenden Matrizen: (Hilfe)

$A=\left(\begin{array}{ccccc}1&2&3&4&5\\2&-1&2&1&4\\1&3&2&1&2\\2&3&2&-1&3\\0&0&0&0&1\end{array}\right)\,,\quad B=\left(\begin{array}{ccccc}1&1&0&2&1\\2&2&0&2&2\\0&1&2&1&3\\2&1&0&1&1\\2&2&0&\pi&1\end{array}\right)\,,\quad
C=\left(\begin{array}{cccc}1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1\\0&1&2&0\\1&1&-2&-1\end{array}\right)$


-3-2-10123\pi4
\det(A)=
\det(B)=
\det(C)=
2\det(AB^{-1})=



3) Die lineare Abbildung \Phi:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^3 besitzt bezüglich der Standardbasis die Abbildungsmatrix

$A=\left(\begin{array}{ccc}-3&2&3\\1&1&0\\-9&4&7\end{array}\right)\,.$

Weiterhin bilden die Vektoren

$b^{(1)}=\left(\begin{array}{c}1\\0\\2\end{array}\right)\,,\qquad b^{(2)}=\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right)\,,\qquad b^{(3)}=\left(\begin{array}{c}0\\-3\\2\end{array}\right)$

eine Basis B=\{b^{(1)},b^{(2)},b^{(3)}\} des \mathbb{R}^3, bezüglich dieser die Abbildungsmatrix von \Phi bestimmt werden soll. Bei der Berechnung der Matrix treten die folgenden Matrizen auf, ordnen Sie, falls möglich, die Bedeutungen zu: (Hilfe)

$P=\left(\begin{array}{ccc}1&1&0\\0&1&-3\\2&1&2\end{array}\right)\,,\quad Q=\left(\begin{array}{ccc}1&0&2\\1&1&1\\0&-3&2\end{array}\right)\,,\quad
R=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{array}\right)\,,$

$S=\left(\begin{array}{ccc}-5&2&3\\6&-2&-3\\2&-1&-1\end{array}\right)\,,\quad
T=\left(\begin{array}{ccc}2&0&0\\1&2&0\\0&0&1\end{array}\right)$

PQRST
Basistransformationmatrix von der Darstellung in B zur Darstellung in Standardbasis
Basistransformationsmatrix von der Darstellung in Standardbasis zu Darstellung in B
Darstellung von \Phi zur Basis B
P^{-1}AS^{-1}

Hinweis: Zu diesem Aufgabentyp gibt es einen Eintrag in der faq.




In eigener Sache: Diese Fragebögen sind ein Pilotprojekt. Bitte senden Sie Ihren Übungsleitern Ihre Eindrücke über den Sinn oder Unsinn solcher Angebote und wie es Ihnen eventuell in der Vorbereitung helfen konnte.