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Arbeitsgruppe 4: Inverse Probleme

Sekretariat
Kollegiengebäude Mathematik (20.30)
Zimmer 1.041

Adresse
Institut für Angewandte und Numerische Mathematik
Englerstr. 2
D-76131 Karlsruhe

Email: agip-sekretariat@ianm.kit.edu

Öffnungszeiten:
Montag - Freitag 11:00-12:00 und 13:00-15:00 Uhr

Tel.: 0721 608 42051

Fax.:

Selbsttest 6 - Eigenwerte und Eigenvektoren

Sie haben hier die Gelegenheit zu einem kleinen Selbsttest: Auch wenn Sie die Aufgaben hier auf dem Monitor sehen, werden Sie ein Blatt und einen Stift in die Hand nehmen müssen. Versuchen Sie die Aufgaben mathematisch auf dem Papier korrekt zu lösen- das wird in den Klausuren später wichtiger sein, als "korrekte" Antworten selbst- und tragen Sie dann Ihre Antworten ein. Wenn Sie überhaupt nicht weiterkommen, so drücken Sie auf (Hilfe).

Fragen Sie sich bei jeder Aufgabe:

  1. Sind Ihnen alle Begriffe klar?
  2. Wissen Sie wonach gefragt wird und was die Antworten genau bedeuten?
  3. Was sind Ihre Argumente für Ihre Antworten, bzw. können Sie sie belegen?

Bei Fragen zu den Aufgaben, den Lösungen, Korrekturen oder sogar Vorschlägen für weitere Aufgaben oder Hinweise wenden Sie sich bitte an Ihre Übungsleiter. Am Ende können Sie die Auswertung abrufen. Darin sehen Sie, welche Fragen Sie richtig beantwortet haben. Hilfreich ist auch das Maple-Worksheet zu Eigenwerten.



1) Bestimmen Sie die Eigenwerte folgender Matrizen: (Hilfe)

$A=\left(\begin{array}{rrr}2&3&3\\0&1&3\\0&0&2\end{array}\right)\,,\quad B=\left(\begin{array}{rrr}0&0&-1\\0&-1&0\\1&0&0\end{array}\right)\,,$

$C=\left(\begin{array}{rrr}-2&0&0\\6&1&-2\\2&1&4\end{array}\right)\,,\quad D=\left(\begin{array}{rrr}1&2&-2\\3&6&6\\-5&-10&-8\end{array}\right)$

Markieren Sie korrekten Eigenwerte. Bitte beachten Sie, dass hier nicht alle Eigenwerte der Matrizen auftauchen.

-3-2-10123
Eigenwerte von A
Eigenwerte von B
Eigenwerte von C
Eigenwerte von D



2) Bestimmen Sie bei den folgenden Matrizen, ob es sich um Abbildungsmatrizen einer Rotation, Projektion oder Spiegelung handelt. (Hilfe)

$P=\left(\begin{array}{rrr}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{array}\right)\,,\quad Q=\left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{array}\right)\,,\quad
R=\left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{array}\right)$

$S=\left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&-3/5&-4/5\\0&-4/5&3/5\end{array}\right)\,,\quad T=\left(\begin{array}{rrr}3&2&3\\-6&-5&-9\\2&2&4\end{array}\right)$

ProjektionSpiegelungRotation
P
Q
R
S
T



3) Die lineare Abbildung \Phi im \mathbb{R}^3 sei eine Spiegelung an der Ebene

$E:\ x(\alpha,\beta)=\alpha\left(\begin{array}{r}1\\2\\3\end{array}\right)+ \beta\left(\begin{array}{r}-1\\1\\1\end{array}\right)\,,\ \alpha,\beta\in\mathbb{R}\,.$

Sind die folgenden Vektoren Eigenvektoren von \Phi? (Hilfe)

Eigenvektor zum Eigenwert -1Eigenvektor zum Eigenwert 0Eigenvektor zum Eigenwert 1kein Eigenvektor
(1,2,3)^\top ist
(1,-1,-1)^\top ist
(1,4,-3)^\top ist
(1,2,1)^\top ist




In eigener Sache: Diese Fragebögen sind ein Pilotprojekt. Bitte senden Sie Ihren Übungsleitern Ihre Eindrücke über den Sinn oder Unsinn solcher Angebote und wie es Ihnen eventuell in der Vorbereitung helfen konnte.