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Arbeitsgruppe 4: Inverse Probleme

Sekretariat
Kollegiengebäude Mathematik (20.30)
Zimmer 1.041

Adresse
Institut für Angewandte und Numerische Mathematik
Englerstr. 2
D-76131 Karlsruhe

Email: agip-sekretariat@ianm.kit.edu

Öffnungszeiten:
Montag - Freitag 11:00-12:00 und 13:00-15:00 Uhr

Tel.: 0721 608 42051

Fax.:

Selbsttest 12 - Laplace-Transformation (Anwendung und Faltung)

Sie haben hier die Gelegenheit zu einem kleinen Selbsttest: Auch wenn Sie die Aufgaben hier auf dem Monitor sehen, werden Sie ein Blatt und einen Stift in die Hand nehmen müssen. Versuchen Sie die Aufgaben mathematisch auf dem Papier korrekt zu lösen- das wird in den Klausuren später wichtiger sein, als "korrekte" Antworten selbst- und tragen Sie dann Ihre Antworten ein. Wenn Sie überhaupt nicht weiterkommen, so drücken Sie auf (Hilfe).


Fragen Sie sich bei jeder Aufgabe:

  1. Sind Ihnen alle Begriffe klar?
  2. Wissen Sie wonach gefragt wird und was die Antworten genau bedeuten?
  3. Was sind Ihre Argumente für Ihre Antworten, bzw. können Sie sie belegen?

Bei Fragen zu den Aufgaben, den Lösungen, Korrekturen oder sogar Vorschlägen für weitere Aufgaben oder Hinweise wenden Sie sich bitte an Ihre Übungsleiter. Am Ende können Sie die Auswertung abrufen. Darin sehen Sie, welche Fragen Sie richtig beantwortet haben.



1) Welche Funktionen wurden hier Laplace-transformiert? (Hilfe)

\begin{array}{ll}\textbf{a)} & \mathcal Lf(s)\\ & =\dfrac{1}{s^2-1}\end{array}\begin{array}{ll}\textbf{b)} & \mathcal Lf(s)\\ & =\dfrac{6}{(s-2)^4}\end{array}\begin{array}{ll}\textbf{c)} & \mathcal Lf(s)\\ & =\dfrac{2s}{(s+1)^2(s^2+1)}\end{array}\begin{array}{ll}\textbf{d)} & \mathcal Lf(s)\\ & =\dfrac{1}{s-i\omega}\end{array}
f_1(t) = 6t \mathrm e^{2t}
f_2(t) = 2 \cos(t) + \mathrm e^{-t}
f_3(t) = \mathrm e^{i\omega t}
f_4(t) = t^3 \mathrm e^{2t}
f_5(t) = \frac{1}{2} (\mathrm e^{t} - \mathrm e^{-t})
f_6(t) = \mathrm e^t
f_7(t) = \sin(t) - t \mathrm e^{-t}



2) Geben Sie an, ob die folgenden Aussagen richtig oder falsch sind bzw. tragen Sie den richtigen Wert ein. (Hilfe)


a) Seien f, g \in \mathcal E, \mathcal Lf=\mathcal Lg für  s>\alpha.richtigfalsch
Dann ist f(t)=g(t) für alle t\geq 0.
Dann ist f(t)=g(t) für fast alle t\geq 0.
b) Es seien f,g stetig differenzierbar. Dann gilt: (f\ast g)'(t) = (f'\ast g)(t) + f(0)g(t).
c) Seien f, g gegeben durch f(t)=e^{2t} und g(t)=\cosh(4t). Für welche s gilt \mathcal L(f\ast g)(s)=\mathcal Lf(s) \mathcal Lg(s)? Für s > .
d) Es sei  b \in \mathcal E mit existierender Laplace-Transformierten \mathcal L b für  s>0 . Für die Lösung des Anfangswertproblems u'''(t)-4u''(t)+u'(t)+6u(t)=b(t),\, u^{(j)}(0)=u_j, \, j=0,1,2 gilt: \mathcal Lu(s)=\frac{\mathcal Lb(s)}{p(s)}+\frac{q(s)}{p(s)} für s>\alpha mit Polynomen p, q . Bestimmen Sie \alpha: \alpha > .



3) Lösen Sie das folgende Anfangswertproblem: (Hilfe)

$x''(t)+2x'(t)+x(t)=6t\mathrm e^{-t},\, x(0)=4,\,x'(0)=2$

a) Wenden Sie die Laplacetransformation an und bestimmen Sie die resultierende Gleichung der Form

$p(s)(\mathcal Lx)(s)+q(s)=(\mathcal Lb)(s)$


p(s)\,= s^3\,+ s^2\,+ s\,+
q(s)\,= s^2\,+ s\,+
\mathcal Lb(s)\,= \dfrac{1}{s+1}\,+ \dfrac{1}{(s+1)^2}\,+ \dfrac{1}{(s-1)^2}


b) Lösen Sie (\mathcal Lx)(s) auf und bestimmen Sie x(t).

(\mathcal Lx)(s)\,= \dfrac{1}{(s+1)^4}\,+ \dfrac{1}{(s+1)^3}\,+ \dfrac{1}{(s+1)^2}\,+ \dfrac{1}{s+1}

x(t)\,= \mathrm e^{-t}\,+ t\mathrm e^{-t}\,+ t^2\mathrm e^{-t}\,+ t^3\mathrm e^{-t}




4) f(x) hat den folgenden Graphen:

Ordnen Sie den Faltungen f \ast g die Funktionen g zu: (Hilfe)

\begin{array}{ccc} \ddots & \, & f \ast g \\ \, & \ddots & \, \\ g  & \, & \ddots  \end{array}1)2)3)
a)
b)
c)
d)






In eigener Sache: Diese Fragebögen sind ein Pilotprojekt. Bitte senden Sie Ihren Übungsleitern Ihre Eindrücke über den Sinn oder Unsinn solcher Angebote und wie es Ihnen eventuell in der Vorbereitung helfen konnte.