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Arbeitsgruppe 4: Inverse Probleme

Sekretariat
Kollegiengebäude Mathematik (20.30)
Zimmer 1.041

Adresse
Institut für Angewandte und Numerische Mathematik
Englerstr. 2
D-76131 Karlsruhe

Email: agip-sekretariat@ianm.kit.edu

Öffnungszeiten:
Montag - Freitag 11:00-12:00 und 13:00-15:00 Uhr

Tel.: 0721 608 42051

Fax.:

Selbsttest 2 - Extremwertaufgaben

Sie haben hier die Gelegenheit zu einem kleinen Selbsttest: Auch wenn Sie die Aufgaben hier auf dem Monitor sehen, werden Sie ein Blatt und einen Stift in die Hand nehmen müssen. Versuchen Sie die Aufgaben mathematisch auf dem Papier korrekt zu lösen- das wird in den Klausuren später wichtiger sein, als "korrekte" Antworten selbst- und tragen Sie dann Ihre Antworten ein. Wenn Sie überhaupt nicht weiterkommen, so drücken Sie auf (Hilfe).


Fragen Sie sich bei jeder Aufgabe:

  1. Sind Ihnen alle Begriffe klar?
  2. Wissen Sie wonach gefragt wird und was die Antworten genau bedeuten?
  3. Was sind Ihre Argumente für Ihre Antworten, bzw. können Sie sie belegen?

Bei Fragen zu den Aufgaben, den Lösungen, Korrekturen oder sogar Vorschlägen für weitere Aufgaben oder Hinweise wenden Sie sich bitte an Ihre Übungsleiter. Am Ende können Sie die Auswertung abrufen, darin sehen Sie, welche Fragen Sie richtig beantwortet haben.



1) Sind folgende Aussagen richtig oder falsch?

RichtigFalsch
a) Ist \hat x lokales Maximum von f:D \rightarrow \mathbb{R}, so ist \hat x lokales Minimum von -f.
b) Falls f:D\rightarrow \mathbb{R} stetig differenzierbar in \hat x und \nabla f(\hat x)=0, so ist \hat x Extremstelle von f.
c) Ein globales Maximum ist immer auch ein lokales Maximum.
d) Falls f differenzierbar ist, gilt \nabla f(\hat x)=0 für jede lokale Extremstelle \hat x \in D von f:D\rightarrow \mathbb{R}.
e) Um die kritischen Punkte von f zu bestimmen, muss die Gleichung \nabla f(x)=0 gelöst werden.
f) Ist \nabla f(\hat x)=0, so verschwinden alle Richtungsableitungen im Punkt \hat x.
g) Ist die Definitionsmenge von f in der Form D=\{ x\in \mathbb{R}^n:g_i(x)=0, i=1,...m\} gegeben, so kann die Langrangesche Multiplikatorenregel für alle x\in D zur Bestimmung der Extremstellen angewendet werden.



2) Bestimmen Sie die kritischen Punkte der Funktion

$f(x,y)=x^4-7x^2+y^2+2xy+2x+2y+3$

und kreuzen Sie die richtigen Punkte an.

(-3,2)(-2,1)(-1,0)(0,-1)(1,2)(2,-3)(3,-2)



3) Bestimmen Sie mit Hilfe der Lagrangeschen Multiplikatorenregel das Minimum der Funktion

$f(x_1,x_2,x_3)=3x_2+4x_3$

auf der Schnittkurve des Zylinders Z:\, x_1^2+x_2^2=1 und der Ebene E:\, x_1+x_3=0.
Bestimmen Sie zunächst die korrekte Lagrangefunktion: (Hilfe)

1) L(x,\lambda)=\lambda_1(3x_2+4x_3)+\lambda_2(x_1^2+x_2^2-1)+\lambda_3(x_1+x_3)
2) L(x,\lambda)=3x_2+4x_3+\lambda_1(x_1^2+x_2^2-1)+\lambda_2(x_1+x_3)
3) L(x,\lambda)=3x_2+4x_3+\lambda(x_1^2+x_2^2-1+x_1+x_3)

Minimum in
(x_1,x_2,x_3)\,= ( , , ) mit Wert .



4) Gegeben sei die Funktion f:D \rightarrow \mathbb{R} mit

$D=\{ x\in \mathbb{R}^n: x_1^2+x_2^2=4, x_2^2+2x_3^2=4\}$

Markieren Sie die Punkte, zu denen die Lagrangesche Multiplikatorenregel
garantiert, dass es Multiplikatoren gibt, wenn der Punkt Extremalstelle von
f ist.

(\sqrt{2},\sqrt{2},1)(0,2,0)(2,0,\sqrt{2})(\sqrt{2},0,1)(-1,\sqrt{3},\frac{\sqrt{2}}{2})



5) Gegeben sei die zu minimierende Funktion f:D \subset \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R},\, x \mapsto c^{\mathsf T}x wobei c \in \mathbb{R}^n und D=\{ x\in\mathbb{R}^n: Ax=b\} mit A\in \mathbb{R}^{m,n} mit Rang A =m .
Bestimmen Sie die korrekte Lagrangefunktion: (Hilfe)

1) L(x,\lambda)= c^{\mathsf T}x + \lambda^{\mathsh T}Ax
2) L(x,\lambda)= Ax-b+ \lambda c^{\mathsf T}x
3) L(x,\lambda)=c^{\mathsf T}x+\lambda^{\mathsf T}(Ax-b)
4) L(x,\lambda)=c^{\mathsf T}x+\lambda_1^{\mathsf T}b-\lambda_2^{\mathsf T}Ax

Bei Anwendung der Lagrangeschen Multiplikatorenregel ergibt sich als Bedingung für mögliche Extremstellen:

1) \frac{1}{2} c^{\mathsf T}x - \lambda^{\mathsf T}Ax=0 und Ax=b
2) c+ A^{\mathsf T}\lambda=0 und Ax=b
3) \lambda^{\mathsf T}A-c=0 und Ax=b
4) c+A^{\mathsf T}\lambda -b=0 und Ax=b






In eigener Sache: Diese Fragebögen sind ein Pilotprojekt. Bitte senden Sie Ihren Übungsleitern Ihre Eindrücke über den Sinn oder Unsinn solcher Angebote und wie es Ihnen eventuell in der Vorbereitung helfen konnte.