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Arbeitsgruppe 4: Inverse Probleme

Sekretariat
Kollegiengebäude Mathematik (20.30)
Zimmer 1.041

Adresse
Institut für Angewandte und Numerische Mathematik
Englerstr. 2
D-76131 Karlsruhe

Email: agip-sekretariat@ianm.kit.edu

Öffnungszeiten:
Montag - Freitag 11:00-12:00 und 13:00-15:00 Uhr

Tel.: 0721 608 42051

Fax.:

Selbsttest 6 - Integralsätze

Sie haben hier die Gelegenheit zu einem kleinen Selbsttest: Auch wenn Sie die Aufgaben hier auf dem Monitor sehen, werden Sie ein Blatt und einen Stift in die Hand nehmen müssen. Versuchen Sie die Aufgaben mathematisch auf dem Papier korrekt zu lösen- das wird in den Klausuren später wichtiger sein, als "korrekte" Antworten selbst- und tragen Sie dann Ihre Antworten ein. Wenn Sie überhaupt nicht weiterkommen, so drücken Sie auf (Hilfe).


Fragen Sie sich bei jeder Aufgabe:

  1. Sind Ihnen alle Begriffe klar?
  2. Wissen Sie wonach gefragt wird und was die Antworten genau bedeuten?
  3. Was sind Ihre Argumente für Ihre Antworten, bzw. können Sie sie belegen?

Bei Fragen zu den Aufgaben, den Lösungen, Korrekturen oder sogar Vorschlägen für weitere Aufgaben oder Hinweise wenden Sie sich bitte an Ihre Übungsleiter. Am Ende können Sie die Auswertung abrufen, darin sehen Sie, welche Fragen Sie richtig beantwortet haben.



1) Es sei B=\{ (x,y,z)\in\mathbb{R}^3\, | \,0 \leq z \leq x^2+y^2\leq 2\}.
Berechnen Sie für das Vektorfeld F:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definiert durch

$F(x,y,z)= \begin{pmatrix} xz+\frac{x^3}{3} \\ 2z\mathrm e^{xy} \\ zy^2-\frac{z^2}{2} - xz^2 \mathrm e^{xy} \end{pmatrix}$

das Integral \int\limits_{\partial B} F\cdot \nu\, \mathrm do mittels des Gaußschen Integralsatzes. Dabei sei der Rand \partial B so parametrisiert, dass der Normalenvektor stets nach außen zeige:

\int\limits_{\partial B} F\cdot \nu\, \mathrm do = \pi.

Hinweis: Zylinderkoordinaten.



2) Gegeben sei das Vektorfeld:

$F=(x+y^2,y+z^2,z+x^2)$

sowie die Flächen S_1: x^2+y^2+z^2=1, z\geq 0 und S_2: x^2+y^2\leq 1, z=0.

Die Flächen S_1 und S_2 beranden die obere Hälfte der Einheitskugel.


a) Berechnen Sie die Rotation und die Divergenz des Vektorfelds F:

\mathrm{rot}\, F = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} mit a = , b = , c =
\mathrm{div}\, F =

b) Berechnen Sie den Fluss \Phi_2 von F durch S_2 von unten nach oben:

\Phi_2 = \frac{\pi}{2}\Phi_2 = \frac{\pi}{4}\Phi_2 = \pi\Phi_2 = 2\pi\Phi_2 = 4\pi

c) Berechnen Sie mit Hilfe des Satzes von Gauß den Fluss \Phi_1 von F durch S_1 von unten nach oben:

Gesamtfluss \Phi = \pi
\Phi_1 = \pi

Hinweis: "Von unten nach oben" bedeutet, dass die z-Komponente des Normalenvektors der Fläche \geq 0 sein muss.



3) Berechnen Sie für S=\{ x\in\mathbb{R}^3 \,|\, \|x\|=1,\, x_3<0\} das folgende Integral:

{\displaystyle\int\limits_S \mathrm{rot} \begin{pmatrix} 1+xz \\ 2+xy \\ 3+yz \end{pmatrix} \cdot \nu \, \mathrm do} =

Hinweis: Satz von Stokes.



4) Es sei S=\{ (x,y)\in\mathbb{R}^2\,|\, x^2+y^2 \leq 1\} und \partial S bezeichne den positiv orientierten Rand von S.
Berechnen Sie:

$\int\limits_{\partial S}(x^2-y^2)\mathrm dx+(x-y)\mathrm dy$

über den Greenschen Integralsatz.

Ergebnis:

-2\pi-\pi-\frac{\pi}{2}0\frac{\pi}{2}\pi2\pi






In eigener Sache: Diese Fragebögen sind ein Pilotprojekt. Bitte senden Sie Ihren Übungsleitern Ihre Eindrücke über den Sinn oder Unsinn solcher Angebote und wie es Ihnen eventuell in der Vorbereitung helfen konnte.