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Institut für Stochastik

Sekretariat
Kollegiengebäude Mathematik (20.30)
Zimmer 2.056 und 2.002

Adresse
Karlsruher Institut für Technologie
Institut für Stochastik

Englerstr. 2
D-76131 Karlsruhe

Postadresse:
D-76128 Karlsruhe

Öffnungszeiten:
Mo-Fr 10:00 - 12:00

Tel.: 0721 608 43270/43265

Fax.: 0721 608 46066

Mathematik für Wirtschaftsingenieure und für naturwissenschaftlich-technische Studiengänge Band 1

1 Grundlagen
1.1 Elemente der Aussagenlogik
Aussagen und ihre Verknüpfungen, Wahrheitstafel, Tautologie und Kontradiktion

1.2 Aussageformen und Quantoren

1.3 Mengen
Mengendefinition nach G. Cantor, Darstellungsformen für Mengen, Teilmengenbeziehungen, Gleichheit von Mengen, Verknüpfungen von Mengen, Disjunktheit von Mengen, Potenzmenge und Komplement, Kartesische Produkte

1.4 Mathematische Schlussweisen
Direkter Beweis, Prinzip der Fallunterscheidung, Beweis durch Kontraposition, indirekter Beweis

2 Abbildungen und Relationen
2.1 Abbildungen
Der mathematische Abbildungsbegriff, Graph einer Abbildung, Injektivität, Surjektivität, Bijektivität, Bild und Urbild von Mengen, Komposition, Umkehrabbildung, Höhenlinien

2.2 Relationen
Der mathematische Relationsbegriff, strukturelle Eigenschaften von Relationen, Äquivalenzrelationen, Ordnungsrelationen, Präferenzrelationen, Abbildungen als Relationen

3 Zahlen und Rechengesetze
3.1 Die natürlichen Zahlen
Axiomensystem von Peano, Prinzip der vollständigen Induktion, Addieren und Multiplizieren in N, Potenzrechnung in N, Anordnung, Prinzip des kleinsten Täters

3.2 Die ganzen Zahlen

3.3 Die rationalen Zahlen
Addition, Multiplikation und Division in Q, Potenzrechnung in Q, Anordnungseigenschaft von Q, Die rationalen Zahlen als angeordneter Körper

3.4 Die reellen Zahlen
Dichtheit von Q und Irrationalzahlen, Rechengesetze für Ungleichungen, N, Z und Q als Teilmengen von R, Beschränktheit, Supremum und Infimum, Vollständigkeitsaxiom, Prinzip des Archimedes, Maximum und Minimum, g-adische Darstellung reeller Zahlen, Summen- und Produktzeichen

3.5 Elemente der Kombinatorik
Endliche Mengen, Kardinalzahlen, Fundamentalprinzipien des Zählens, Permutationen, Kombinationen, Binomialkoeffizienten

4 Elemente der Stochastik
4.1 Zufällige Experimente
Ergebnismengen, Ereignisse, relative Häufigkeiten, Urnen- und Teilchen/Fächer-Modelle

4.2 Endliche Wahrscheinlichkeitsräume
Axiomensystem von Kolmogorow, Konstruktion von W-Verteilungen, Laplace-Modelle

4.3 Zufallsvariablen
Definition von Zufallsvariablen, Indikatorfunktionen, Zählvariablen, Verteilung einer Zufallsvariablen

4.4 Der Erwartungswert
Definition und Motivation der Begriffsbildung, grundlegende Eigenschaften, Transformationsformel, hypergeometrische Verteilung, Varianz, Tschebyschow-Ungleichung

4.5 Ein einfaches finanzmathematisches Modell
Europäische Option, Portfolio, Arbitrage

4.6 Mehrstufige Experimente
Modellierung abhängiger Experimente, Baumdiagramme, Pfadregel

4.7 Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Motivation der Begriffsbildung, Zusammenhang mit Übergangswahrscheinlichkeiten, Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit, Bayes-Formel, zur Interpretation medizinischer Tests

4.8 Stochastische Unabhängigkeit
Motivation, Unabhängigkeit von Ereignissen, Unabhängigkeit und Komplementbildung, Unabhängigkeit in Produktexperimenten, Unabhängigkeit von Zufallsvariablen

4.9 Binomial- und Multinomialverteilung
Bernoulli-Kette, Binomialverteilung, Multinomialverteilung

4.10 Ein Binomialmodell der Finanzmathematik*
Cox-Ross-Rubinstein Modell, selbstfinanzierende Strategien, Der faire Preis Europäischer Optionen, Black-Scholes Preis, Hedgebaum

5 Folgen und Reihen
5.1 Folgen
Definition einer Folge, Beschränktheit und Monotonie, Grenzwertbegriff, Nullfolgen, bestimmte und unbestimmte Divergenz, Konvergenzkriterien, die Eulersche Zahl e, Teilfolgen, Häufungspunkte, Satz von Bolzano-Weierstraß , Cauchy-Folgen, Wachstumsvergleiche

5.2 Unendliche Reihen
Definition unendlicher Reihen, geometrische Reihe und harmonische Reihe, Eigenschaften konvergenter Reihen, Leibniz-Kriterium für alternierende Reihen, absolut konvergente Reihen, Majoranten- und Minorantenkriterium, Umordnung von Reihen, Multiplikation von Reihen

5.3 Die Exponentialfunktion
Definition der Exponentialfunktion, Funktionalgleichung, Stetigkeit und Monotonie, Reihendarstellung

5.4 Anwendungen in der Stochastik
Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume, Zufallsvariablen, geometrische Verteilung, negative Binomialverteilung, Poisson-Verteilung

5.5 Warteschlangen*
Modellierung, invariante Verteilung, Verkehrsdichte

6 Differentialrechnung
6.1 Stetigkeit
Definition und erste Folgerungen, Charakterisierung der Stetigkeit

6.2 Eigenschaften stetiger Funktionen
Stetigkeit und Beschränktheit, Min-Max-Eigenschaft, Zwischenwertsatz, Monotonie, Stetigkeit der Umkehrabbildung, natürlicher Logarithmus

6.3 Grenzwerte von Funktionen
Häufungspunkte, einseitige und zweiseitige Grenzwerte, Verteilungsfunktionen, allgemeine Exponentialfunktion, allgemeiner Logarithmus, Wachstum der Exponential- und der Logarithmusfunktion

6.4 Potenzreihen (1)
Definition von Potenzreihen, Konvergenzradius, Identitätssatz, Sinus und Kosinus, Additionstheoreme, die Kreiszahl 'Pi'

6.5 Gleichmäßige Konvergenz
Punktweise und gleichmäßige Konvergenz, gleichmäßige Konvergenz von Potenzreihen, gleichmäßige Konvergenz und Stetigkeit

6.6 Differentiation
Ableitung, einseitige Ableitungen, differenzierbare Funktionen, Differenzierbarkeit und Stetigkeit, Summenregel, Produkt- und Quotientenregel, Tangens und Kotangens, Kettenregel, Differentiation der inversen Abbildung, Elastizität, höhere Ableitungen

6.7 Mittelwertsätze
Globale und lokale Extrema von Funktionen, Satz von Rolle und erster Mittelwertsatz, Differenzierbarkeit und Monotonie, Arcus Sinus und Arcus Kosinus, Arcus Tangens, grundlegende Ableitungen, Mittelwertsatz, Regeln von de L'Hospital

6.8 Taylorpolynome und Taylorreihen
Satz von Taylor, Taylorpolynom und Restgliedfunktion, Taylorreihe, hinreichende Bedingungen für lokale Extrema, Newton-Verfahren

6.9 Potenzreihen (2)
Abelscher Grenzwertsatz, Differentiation von Potenzreihen

6.10 Konvexität
Definition der Konvexität, Konvexität differenzierbarer Funktionen, Wendepunkte, Newton-Verfahren für konvexe Funktionen

6.11 Kurvendiskussion

7 Integration
7.1 Das Riemann-Integral
Zerlegungen, Ober- und Untersummen, Definition des Riemann-Integrals, Riemannsches Integrabilitätskriterium, Integrierbarkeit stetiger und monotoner Funktionen, Eigenschaften des Riemann-Integrals, Mittelwertsätze der Integralrechnung, Integration gleichmäßig konvergenter Funktionenfolgen

7.2 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Das Integral als Funktion der oberen Grenze, Stammfunktionen, unbestimmtes Integral, Hauptsatz, Integration von Potenzreihen

7.3 Uneigentliche Riemann-Integrale
Integration über unbeschränkten Intervallen, Integration unbeschränkter Funktionen, Integralkriterium

7.4 Berechnung von Stammfunktionen
Grundintegrale, Eigenschaften unbestimmter Integrale

7.5 Numerische Integration
Trapezregel, Simpson-Regel, Fehlerabschätzungen

7.6 Verteilungsfunktionen und Dichten

8 Lineare Gleichungssysteme und Matrizenrechnung
8.1 Lineare Gleichungssysteme
Lineare Gleichungen, Definition linearer Gleichungssysteme, Koeffizientenmatrix, Matrizen, elementare Zeilenoperationen, Gaußscher Algorithmus

8.2 Der als Vektorraum
Vektoraddition und skalare Multiplikation, lineare Unabhängigkeit, lineare Unterräume, Basis und Dimension, Koordinaten und Koordinatensysteme, Basisauswahlsatz

8.3 Lineare Abbildungen
Definition linearer Abbildungen, Prinzip der linearen Fortsetzung, lineare Abbildungen und Matrizen, Kern, Bild und Rang linearer Abbildungen, Dimensionsformel

8.4 Das Skalarprodukt
Definition des Skalarprodukts, Cauchy-Schwarzsche Ungleichung, Orthogonalität und Winkel, Orthonormalsysteme, orthogonale Projektion

8.5 Lösungsmengen linearer Gleichungssysteme
Homogene und inhomogene Gleichungssteme, Rangkriterien, Zeilen- und Spaltenrang, Transposition und Skalarprodukt

8.6 Affine Unterräume
Definition affiner Unterräume, Hyperebenen, Abstand zwischen affinen Räumen, Summen von Unterräumen

8.7 Matrizenrechnung
Addition und skalare Multiplikation, Multiplikation von Matrizen, Eigenschaften der Matrizenmultiplikation, Einheitsmatrix, Regularität, inverse Matrix

8.8 Markowsche Ketten und stochastische Matrizen*
Stochastische Matrizen, Markowsche Ketten, invariante Verteilungen, Ergodensatz, Geburts- und Todesprozesse, Markowsche Ketten mit abzählbaren Zustandsraum

8.9 Stochastische Bediennetze*
Modellierung, invariante Verteilung, transiente substochastische Matrizen, Austauschmodell von Leontiew

Literaturverzeichnis

Symbolverzeichnis

Index