Fragebogen

Quersummen

Quersummen helfen, die Teilbarkeit von natürlichen Zahlen zu untersuchen. Die bekannteste Regel dazu ist wohl, dass eine natürliche Zahl genau dann durch 3 teilbar ist, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist. Man kann aber auch weitere Typen von Quersummen betrachten. Ein Beispiel hier wäre eine zweistufige Quersumme, bei der die Quersumme - beginnend mit Zehnern und Einern - immer mit zwei Stellen gebildet wird. Eine weitere Möglichkeit wäre etwa die Vorschrift Einer Minus Zehner Plus Hunderter Minus Tausender Plus.... . Das wäre zum Beispiel eine einstufige alternierende Quersummenbildung.

Was halten Sie von der Gültigkeit der folgenden Quersummenregeln?

richtig	Nr.	Antwort
	a)	Eine Zahl ist genau dann durch 7 teilbar, wenn Ihre Quersumme durch 7 teilbar ist.
	b)	Eine Zahl ist genau dann durch 9 teilbar, wenn Ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.
	c)	Eine Zahl ist genau dann durch 11 teilbar, wenn Ihre zweistufige Quersumme durch 11 teilbar ist.
	d)	Eine Zahl ist genau dann durch 11 teilbar, wenn Ihre alternierende Quersumme durch 11 teilbar ist.
	e)	Eine Zahl ist genau dann durch 37 teilbar, wenn Ihre dreistufige Quersumme durch 37 teilbar ist.

Natürliche Zahlen

Die natürlichen Zahlen ${\mathbb N} =\{1,2,3,\ldots\}$ waren und sind eine Spielwiese zum Knobeln. Hier ein paar Aussagen dazu.

richtig	Nr.	Antwort
	a)	Das Quadrat einer ungeraden Zahl liefert bei Division durch 8 immer den Rest 1.
	b)	Der Ausdruck $\frac{n^5}{120} - \frac{n^3}{24}+\frac{n}{30}$ liefert für jede natürlich Zahle $n$ eine ganze Zahl.
	c)	Für jede natürliche Zahl $a$ ist $a^3 - a$ durch $3$ teilbar.
	d)	Für jede natürliche Zahl $a$ und jede Primzahl $p$ ist $a^p - a$ durch $p$ teilbar.
	e)	Für zwei natürliche Zahl $a$ und $n > 1$ ist $a^n - a$ durch $n$ teilbar.

Die alten Griechen...

Geometrische Konstruktionen im antiken Griechenland bedeuteten Konstruktionen mit Zirkel und Lineal. Hierbei stießen die griechischen Geometer auf die drei klassischen Probleme, die sie nicht mit Zirkel und Lineal lösen konnten: Quadratur des Kreises, Verdoppelung des Würfels und Dreiteilung eines beliebigen Winkels. Es dauerte ca. 2 Jahrtausende bis man beweisen konnte, dass diese Aufgaben mit Zirkel und Lineal nicht lösbar sind.

Wie sieht es mit der Lösbarkeit dieser Aufgaben aus, wenn man statt Zirkel und Lineal das Papierfalten als Werkzeug nimmt?

richtig	Nr.	Antwort
	a)	Die Quadratur des Kreises ist mit Papierfalten möglich.
	b)	Die Dreiteilung eines beliebigen Winkels ist mit Papierfalten möglich.
	c)	Die Verdoppelung des Würfels ist mit Papierfalten möglich.

Der Goldene Schnitt

Der Goldene Schnitt bezeichnet ein Streckenverhältnis in der Mathematik. Eine Strecke wird im Goldenen Schnitt geteilt, wenn sich die Länge der kleineren Teilstrecke zur gößeren Teilstrecke verhält, wie die Länge der größeren Teilstrecke zur Gesamtlänge. Der Zahlenwert des goldenen Schnitts beträgt etwa 1,618 - was bedeutet, dass eine Strecke der Länge 1,618 Meter von einem Meter im Goldenen Schnitt geteilt wird.

Was halten Sie von den folgenden Aussagen über das Auftauchen des Goldenen Schnitts in Mathematik und Umwelt?

richtig	Nr.	Antwort
	a)	Bei einem Quadrat teilt eine Seite eine Diagonale im Goldenen Schnitt.
	b)	Beim regelmäßigen Fünfeck teilt eine Seite eine Diagonale im Goldenen Schnitt.
	c)	Bei jedem rechtwinkligen Dreieck teilt die kürzere Kathete die Hypothenuse im Goldenen Schnitt.
	d)	Die Quotienten aufeinanderfolgender Glieder der Fibonaccifolge konvergieren gegen den Goldenen Schnitt.
	e)	Der Turm des alten Rathauses in Leipzig teilt die Vorderfront in Goldenen Schnitt.
	f)	Bei einem Durchschnittsmenschen teilt der Bauchnabel die Größe im Goldenen Schnitt.