Fragebogen Nr. 2

Kommazahlen

Über Kommazahlen teilt uns zum Beispiel ein Taschenrechner das Ergebnis einer Berechnung mit, auf einem Bankauszug wird der Kontostand mit Kommazahlen angegeben, Preise in Warenhäuser sind mit Kommazahlen ausgezeichnet - Kommazahlen sind in unserem Leben allgegenwärtig. Andererseits sind uns Bruchzahlen ebenfalls vertraut - man denke an die Hälfte eines Stücks Kuchen oder ein Viertel Kilo Wurst. Brüche kann man in Kommazahlen umwandeln, indem man die übliche 'schriftliche Division' Zähler geteilt durch Nenner durchführt und für den Nachkommabereich zusätzliche Nullen dazuholt. So ergibt sich zum Beispiel $\frac{1}{2} = 1:2 = 1,0 : 2 =0,5$ oder $\frac{1}{3} = 1:3 = 1,0 : 3 =0,33333333\ldots = 0,\overline{3}$ . Gesprochen wird die letzte Zahl 'Null Komma drei Periode', wobei das Wort 'Periode' anzeigt, dass die 3 unendlich oft hintereinander hinzuschreiben wäre.

Umgekehrt kann man sich sich überlegen, ob man von Kommazahlen immer auf Bruchzahlen zurückrechnen kann und was dabei rauskommt. Was denken Sie: Verbirgt sich etwa hinter $0,999999999999\ldots = 0,\overline{9}$ eine Bruchzahl, und wenn ja, welche?

richtig	Nr.	Antwort
	a)	Man kann nicht jede Kommazahl in eine Bruchzahl umrechnen.
	b)	Man kann jede Kommazahl in eine Bruchzahl umrechnen.
	c)	$0,999999999999\ldots = 0,\overline{9}$ kann man nicht in eine Bruchzahl umschreiben.
	d)	$0,999999999999\ldots = 0,\overline{9}$ kann man in eine Bruchzahl umschreiben und es kommt eine Zahl kleiner als 1 heraus.
	e)	$0,999999999999\ldots = 0,\overline{9}$ kann man in eine Bruchzahl umschreiben und es gilt $0,\overline{9} = 1$ .

Pytharoras lässt grüßen

Auf die Frage nach dem Satz des Pythagoras erhält man meist eine Formel zur Antwort: $a^2 +b^2 = c^2$ .
Geometrisch verbirgt sich dahiner der Sachverhalt, dass man bei einem rechtwinkligen Dreick über den beiden Katheten Quadrate errichten kann und diese zusammen flächengleich sind mit dem über der Hypothenuse errichteten Quadrat.
Von der Betrachtungsweise der Zahlen ist interessant, dass die Gleichung $a^2 +b^2 = c^2$ Lösungen mit natürlichen Zahlen (ungleich Null) hat. Ein Beispiel dafür ist das pythagoräische Tripel (3,4,5), denn $3^2 +4^2 = 9+16 = 25= 5^2$ .
Wenn das mit Quadraten funktioniert ist es naheliegend zu fragen, ob die Formel $a^3 +b^3 = c^3$ ebenfalls ein Lösungstripel aus natürlichen Zahlen (ungleich Null) hat. Nach dem Exponenten drei kann man dann natürlich mit vier, fünf, sechs... oder eben jeder beliebigen natürlichen Zahl im Exponenten weiterfragen. Was denken Sie über die 'Lösbarkeit dieser Formel mit natürlichen Zahlen (ungleich Null)' bei größeren Exponenten als zwei?

richtig	Nr.	Antwort
	a)	Man findet für jeden Exponenten solche passenden Tripel als Lösungen.
	b)	Nur geradzahlige Exponenten erlauben solche Tripel als Lösungen.
	c)	Es gibt für Exponenten größer als zwei nie passende Tripel als Lösungen.

Probleme mit Ziegen....

In einer amerikanischen Fernsehshow standen die Kandidaten vor drei verschlossenen Türen. Hinter einer der Türen war der Hauptgewinn versteckt. Hinter den beiden anderen Türen standen Ziegen, die die Nieten in diesem Lotteriespiel darstellten. Der Kandidat sucht sich vorneweg eine der drei Türen aus. Der Moderator öffnet eine der beiden übrigen Türen, und da er weiß, wo sich der Hauptgewinn verbirgt, immer eine Tür mit Ziege. Jetzt macht er dem Kandidaten das Angebot, noch einmal seine Entscheidung zu überdenken. Das heißt er kann seine vormals gewählte Tür behalten oder auf die andere noch geschlossene Tür überwechseln. Halten Sie das für sinnvoll?

richtig	Nr.	Antwort
	a)	Ja der Kandidat sollte wechseln, er erhöht damit seine Chancen.
	b)	Es ist völlig egal ob er wechselt - an den Chancen ändert sich nichts.
	c)	Auf keinen Fall wechslen, die Chancen können dadurch nur sinken.

Kreise auf Flächen

Auf vielen Flächen findet man Kreise als Schnitt dieser Fläche mit einer Ebene. Zum Beispiel gehen auf einer Kugel durch jeden Punkt unendlich viele Kreise (warum?). Auf einem Kreiszylinder geht durch jeden Punkt ein Kreis (warum?).

Für diese Frage interessieren wir uns für einen Torus, eine Ringfläche, die Sie sich als Schwimmring vorstellen können. Man kann einen Torus erzeugen, indem man einen Kreis um eine (nichtschneidende) Achse rotieren lässt. Mit dieser Vorstellung ist es leicht einzusehen, dass durch jeden Punkt eines Torus zwei Kreise gehen. Sind das alle?

richtig	Nr.	Antwort
	a)	Ja, durch jeden Punkt gehen nur genau zwei Kreise.
	b)	Durch manche Punkte gehen nur zwei, durch andere mehr als zwei Kreise.
	c)	Durch alle Punkte gehen genau drei Kreise.
	d)	Durch alle Punkte gehen sogar vier Kreise.