KIT - Fakultät für Mathematik - Über Körper konstanter Breite

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Kolloquium

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Kolloquiumsvortrag Dr. Ioannis Anapolitanos, KIT

Kolloquiumsvortrag Dr. Ioannis Anapolitanos, KIT

Über Körper konstanter Breite

Referent: Dr. Ioannis Anapolitanos, KIT
Ort: Seminarraum 1.067, Kollegiengebäude Mathematik
Termin: 20.12.2023, 16:00 Uhr
Gastgeber: Prof. Dr. Wilderich Tuschmann

Zusammenfassung

Ein $d$ -dimensionaler Körper A ist eine (konvexe) Teilmenge $A \subset R^d, d\ge 2$ . Die Breite $b(v)$ des Körpers in Richtung eines Vektors $v \in R^d$ ist der kleinste Abstand von Hyperebenen, welche senkrecht zu $v$ sind und den Körper A zwischen sich einschließen. Ist die Breite $b(v)$ unabhängig von der Richtung $v$ , so heißt A ein Körper konstanter Breite. Man nennt diese auch Gleichdicke.
Offensichtliche Beispiele für Körper konstanter Breite sind Bälle in $R^d$ , es existieren aber viele Gleichdicke, die keine Bälle sind. Ein klassisches Beispiel ist das Reuleaux Dreieck in $R^2$ , das im 19ten Jahrhundert konstruiert wurde. Andererseits weiß man, dass in Dimension $d\ge 3$ ein K¨örper $A \subset R^d$ ein Ball ist, falls alle Schnitte $AH = A \cap H$ mit beliebigen Hyperebenen $H$ von $R^d$ Körper konstanter Breite in $R^{d - 1}$ sind.
Ein mathematisches Verständnis dieses Themas ist auch in der Praxis relevant. Zum Beispiel die Frage, wie man einfach eine Röhre (einen Zylinder) auf Rundheit testen kann. Bei der Untersuchung der Challenger Katastrophe von 1986 stellte sich heraus, dass zur Überprüfung der Rundheit der Boosterraketen, welche mehrfach verwendet werden sollten, die Ingenieure nur prüften, ob der zylindrische Teil der Boosterraketen senkrecht zu der Längsachse von konstanter Breite ist. Dies ist einfach zu messen. Die Ingenieure der NASA nahmen fälschlicherweise an, dass ein zweidimensionaler Körper konstanter Breite eine Kreisscheibe ist. Aufgrund dieses fehlerhaften Tests erkannte man nicht, dass die Boosterraketen nach mehrmaliger Benutzung unrund wurden. Es entstanden Undichtigkeiten an den Verbindungsstücken und zusammen mit anderen Ursachen kam es zum Austritt heißer Gase, welche den Haupttank von Challenger kurz nach dem Start entzündeten.

Körper konstanter Breite tauchen in verschiedenen mathematischen Gebieten, wie der Analysis, Differentialgeometrie und Topologie, auf. Darüberhinaus haben diese Körper Anwendungen im Ingenieurwesen. Der Vortrag wird eine mathematische Einleitung zum Thema sein. Ein paar Anwendungen werden gezeigt.