CAT(0) kubische Komplexe (Wintersemester 2014/15)
- Dozent*in: JProf. Dr. Petra Schwer
- Veranstaltungen: Vorlesung (0106500), Übung (0106600)
- Semesterwochenstunden: 4+2
| Termine | ||
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| Vorlesung: | Dienstag 9:45-11:15 | 1C-04 |
| Freitag 11:30-13:00 | 1C-03 | |
| Übung: | Montag 15:45-17:15 | 4A-09 (Funktionsraum 4. OG) |
| Lehrende | ||
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| Dozentin | JProf. Dr. Petra Schwer | |
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Sprechstunde: nach Vereinbarung |
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Zimmer 1.005 Kollegiengebäude Mathematik (20.30) |
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| Email: petra.schwer@kit.edu | Übungsleiterin | Dr. Julia Heller |
| Sprechstunde: nach Vereinbarung oder spontan | ||
| Zimmer 1.008 Kollegiengebäude Mathematik (20.30) | ||
| Email: julia.heller@kit.edu | ||
Inhalt
CAT(0) Räume sind eine spezielle Klasse metrischer Räume, die eine nicht-positiv gekrümmte Metrik tragen. Im Gegensatz zu den differentialgeometrischen Begriffen von Krümmung wird die CAT(0) Eigenschaft durch Vergleichen von Abständen definiert.
Ein kubischer Komplex ist ein polyhedrischer Komplex, der aus Einheitswürfeln gebaut ist und daher eine natürliche Metrik trägt. Was die kubischen Komplexe auszeichnet ist die Tatsache, dass für sie die CAT(0) Eigenschaft besonders einfach zu verifizieren ist.
In der geometrischen Gruppentheorie werden Eigenschaften von Gruppen mittels geeigneten Wirkungen auf schönen metrischen Räumen untersucht. Gruppen, die auf CAT(0) kubischen Komplexen wirken, sind dabei besonders gut verstanden.
Die Vorlesung wird in die geometrische Strukturtheorie der CAT(0) Räume und Gruppen einführen. Wir diskutieren die Geometrie der kubischen Komplexe, sowie deren Anwendungen in der geometrischen Gruppentheorie.
Ein kubischer Komplex für
Mögliche Inhalte sind:
- Gromovs Fahnenbedingung für nichtpositive Krümmung
- Hyperebenen und Halbräume
- Sageevs Konstruktion kubischer Komplexe für Coxetergruppen
- Haglund-Wise spezielle kubische Komplexe
Voraussetzungen
Mitzubringen ist Interesse an Geometrie und Gruppentheorie, sowie Grundlagen in Geometrie und Topologie. Diese Vorlesung eignet sich als Ergänzung zur Vorlesung Geometrische Gruppentheorie II. Vorkenntnisse werden aber nicht vorausgesetzt.
Übungsblätter
Blatt 1 Besprechung am 29.10. in den Übungen
Blatt 2 Abgabe am 31.10. in der Vorlesung
Blatt 3 Abgabe am 10.11. in der Vorlesung
Blatt 4 Abgabe am 14.11. in der Vorlesung
Blatt 5 Abgabe am 21.11. in der Vorlesung
Blatt 6 Abgabe am 28.11. in der Vorlesung
Blatt 7 Abgabe am 8.12. in der Übung
Blatt 8 Abgabe am 12.12. in der Vorlesung
Blatt 9 Abgabe am 9.1. in der Vorlesung
Blatt 10 Abgabe am 23.1. in der Vorlesung
Blatt 11 Abgabe am 30.1. in der Vorlesung
ACHTUNG: Ab sofort finden die Übungen montags von 15:45-17:15 im Raum 4A-09 statt.
Vorlesungsnotizen
Hier stelle ich Ihnen meine Vorlesungsnotizen zur Verfügung mit denen ich die Stunden vorbereite. Diese können Ihnen zur leichterten Nachbereitung der Veranstaltung dienen. Es handelt sich dabei nicht um ein offizielles Skript.
Kapitel 1: CAT(0) Räume
Kapitel 2: M_\kappa-polyhedrische Komplexe
Kapitel 3: Kubische Komplexe (Link Bedingung, Hyperebenen und Halbraumsysteme)
Kapitel 4: Gruppenwirkungen auf CAT(0) kubischen Komplexen
Kapitel 5: Kubulieren von Coxetergruppen
Kapitel 6: Das Wortproblem und (bi-)automatische Gruppen
Kapitel 7: Spezielle kubische Komplexe
Prüfung
Die mündlichen Prüfungen zu dieser Vorlesung finden am 17.3.2015 statt.
Literaturhinweise
M. Bridson, A. Haefliger, Metric spaces of non-positive curvature. Springer-Verlag, Berlin, (1999)
M. Bestvina: Geometric group theory and 3-manifolds hand in hand: the fulfillment of Thurston's vision, (2014)
D. Calegari: Notes on Agol's virtual Haken Theorem (2013)
G. Niblo and L. Reeves: Coxeter groups act on CAT(0) cube complexes, (2002)
M. Sageev: Ends of Group Pairs and Non-Positively Curved Cube Complexes, (1995)
lamington.wordpress.com über Agol's virtual Hake Theorem