Webrelaunch 2020

Elemente der Geometrie (Wintersemester 2008/09)

Wie kommt man zu einer "Geometrie"? Ein Blick in die Literatur zeigt, dass hauptsächlich zwei Wege beschritten wurden.

- Axiomatischer Aufbau: Man gibt disjunkte Mengen von Objekten vor (in der ebenen Geometrie etwa eine Punktmenge und eine Geradenmenge) sowie eine Relation zwischen ihnen (am einfachsten: eine Gerade ist eine Menge von Punkten). Durch Axiome wird nun festgelegt, welche Eigenschaften die so gegebene Struktur haben soll. Nur diese Axiome dürfen beim Beweisen von Sätzen verwendet werden.

- Geometrie als Invariantentheorie: Man geht aus von einer Menge M von Punkten und einer Menge T von Bijektionen auf M, die bezüglich der Hintereinanderausführung eine Gruppe bildet. Man nennt zwei Figuren (Teilmengen von M) F,F' kongruent, wenn es eine Transformation t in T mit F'=t(F) gibt. Von Interesse sind nun gemeinsame Eigenschaften (Invarianten) kongruenter Figuren. Solche Transformationen sind zum Beispiel die Affinitäten in der affinen Geometrie oder die Bewegungen in der euklidischen Geometrie.

Wir werden in dieser Vorlesung beide Wege beschreiten:
Teil I: Einige Ergebnisse der euklidischen Geometrie
Wir beschäftigen uns mit einigen konkreten Ergebnissen der euklidischen Ebene und des dreidimensionalen euklidischen Raums, die in anderen Vorlesungen zu kurz kommen. Insbesondere sollen in Teil I die in Teil II und Teil III verfolgten Ansätze vorbereitet werden.
Teil II: Axiomatischer Aufbau
Wir entwickeln schrittweise ein Axiomensystem der euklidischen Ebene. Das Studium des Parallelenaxioms wird zur hyperbolischen Ebene führen. Als zweite nichteuklidische Geometrie betrachten wir die projektive Ebene, auch um auf den in Teil III stets zugrunde liegenden projektiven Raum vorzubereiten.
Teil III: Geometrie als Invariantentheorie
In Anlehnung an die Klassifikation von Felix Klein werden wir ein breites Spektrum nichteuklidischer Geometrien untersuchen.

Die Vorlesung wendet sich insbesondere an Studierende des Lehramts, denen sie einen tieferen Einblick in die geometrischen Strukturen und damit die Voraussetzungen für einen fundierten Unterricht vermitteln möchte.

Termine
Vorlesung: Dienstag 14:00-15:30 Bauingenieure, Großer Hörsaal
Donnerstag 14:00-15:30 Bauingenieure, Großer Hörsaal
Übung: Freitag 9:45-11:15 Redtenbacher Hörsaal

Hinweise und Übungsaufgaben

Alle wichtigen Informationen auf einem Merkblatt.

1. Übungsblatt
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Prüfung

Hier finden Sie die Angabe zur Klausur,
hier die Lösung.

Literaturhinweise

Es gibt ein Skriptum.