Webrelaunch 2020

Proseminar zur axiomatischen Geometrie in der Ebene (Wintersemester 2022/23)

Termine
Proseminar: Freitag 8:00-9:30 SR 2.066 Beginn: 24.10.2022, Ende: 18.2.2023
Lehrende
Seminarleitung Jun.-Prof. Dr. Claudio Llosa Isenrich
Sprechstunde: nach Vereinbarung
Zimmer 1.005 Kollegiengebäude Mathematik (20.30)
Email: claudio.llosa@kit.edu
Seminarleitung David Degen M. Sc.
Sprechstunde: nach Vereinbarung
Zimmer 1.021 Kollegiengebäude Mathematik (20.30)
Email: david.degen@kit.edu

Inhalt
In seinen Elementen trug Euklid vor etwa 2000 Jahren das damalige Wissen der Mathematik zusammen. Aufbauend auf einigen Grundannahmen, den Axiomen, leitet er dieses hierin durch logische Schlüsse her. Insbesondere leitet er hierin die damals bekannten Aussagen der Geometrie in der reellen Ebene her, bei der es sich um eine der ältesten Disziplinen der Mathematik handelt. Heute ist uns die ebene Geometrie oft auch als Schulgeometrie bekannt, da wir wichtigen Sätze hieraus bereits in der Schule begegnen. Auch heute noch gelten Euklid's Elemente als ein klassisches Beispiel für einen systematischen Aufbau der Mathematik. Allerdings stellt sich bei genauerer Betrachtung heraus, dass er nicht den Standards der modernen Mathematik entspricht, da Euklid an manchen Stellen in seinen Beweisen Annahmen aus der geometrischen Intuition verwendet, die er weder hergeleitet, noch als Axiome eingeführt hat.

Aufbauend auf der Arbeit vieler Mathematiker hat Hilbert 1899 ein Axiomensystem eingeführt, welches diese Mängel behebt und die Ebene Geometrie auf Basis der Mengenlehre aufbaut. Hieraus lassen sich dann, ähnlich wie in Euklid's Elementen, alle Aussagen der Geometrie in der Ebene herleiten. Weiter zeigte Hilbert, dass dieses Axiomensystem minimal ist, das heißt, dass keines der Axiome aus den anderen folgt und die Geometrie in der (reellen) Ebene eindeutig festlegt. In diesem Seminar werden wir uns anschauen, wie man die ebene Geometrie axiomatisch aufbauen kann. Hierbei werden wir die Axiome nacheinander einführen und uns jeweils anschauen, welche Sätze sich mit ihnen beweisen lassen und Beispiele verschiedener Geometrien sehen, die diese erfüllen. Insbesondere werden wir sehen, dass die Gesamtheit der eingeführten Axiome durch die Geometrie in der reellen Ebene erfüllt sind und diese hierdurch eindeutig festlegt ist.


Voraussetzungen
Analysis 1 und 2 und Lineare Algebra 1 und 2.

Registrierung
Bitte registrieren Sie sich, über die Seite des Studiendekans, wie für Proseminare üblich.

Vorbesprechung
Die Vorbesprechung wird am Freitag, den 05. August 2022, um 14:00 Uhr stattfinden.

Zielgruppe
Studierende der Mathematik, insbesondere des Lehramts.

Literaturhinweise

Hauptquelle

  • E.Kunz, "Ebene Geometrie", Grundlagen der Geometrie, vieweg Studium; Grundkurs der Mathematik vol. 26, Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden, 1976.

Weitere Literatur

  • Euklid, "Die Elemente".
  • R.Hartshorne, "Geometry: Euclid and beyond", Undergraduate Texts in Mathematics, Springer Verlag, 2000.

Literatur zum Vorbereiten von Seminarvorträgen
Bitte beachten Sie für die Vorbereitung Ihres Vortrags das Dokument Wie halte ich einen Seminarvortrag? von Prof. Dr. Manfred Lehn.