Geometrie Seminar zu Thema Gebäude
Wintersemester 2017/18 Uni Heidelberg
Die Theorie der Gebäude ist sehr reichhaltig und verbindet verschiedene geometrische und gruppentheorietische Aspekte, was eine vielzahl von Anwendungsmöglichkeiten und eine große methodische Breite liefert.
Zunächst einmal sind Gebäude einfach Simplizialkomplexe, die überdeckt sind von einer Menge von Unterkomplexen, den Apartments. Die Apartments sind triangulierte Sphären oder triangulierte affine oder hyperbolische Räume, deren Triangulierungen von Spiegelungsgruppen auf diesen Räumen induziert werden.
(Bruhat-Tits oder Tits) Gebäude können zudem als Analogon zu symmetrischen Räumen assoziiert zu p-adischen Lie-Gruppen, wie zum Beispiel GLn(Qp) oder SLn(Qp) aufgefasst werden. Darüber hinaus spielen Gebäude eine wichtige Rolle in der geometrischen Gruppentheorie, unter anderem, weil sie eine zentrale Beispielklasse für sogenannte CAT(0) Räume sind - eine Klasse von metrischen Räumen, die nicht-positiv gekrümmt ist.
In diesem Seminar betrachten wir Gebäude uns aus verschiedenen Blickwinkeln. Zunächst werden wir Coxetergruppen einführen und ihre zugehörigen Coxeterkomplexe studieren, die die Bausteine für die simpliziale Definition der Gebäude sind.
Anschließend beschäftigen wir uns mit der Definition und ersten Eigenschaften von Gebäuden und konstruieren Beispiele in kleinen Dimensionen. Wir konzentrieren uns auf sphärische und affine Gebäude und werden sehen, wie Gebäude zu SLn(Qp) konstruiert werden können. Abschließen werden wir das Seminar mit Vorträgen über CAT(0) Geometrie, sowie einer Charakterisierung von affinen Gebäuden als gewisse CAT(0) Räume mit Zusatzstruktur.
Das Seminar richtet sich an (fortgeschrittene) Bachelor- und Lehramtsstudenten, sowie Masterstudenten.
Auch Studenten anderer Fachrichtungen, wie zum Beispiel der Physik, sind herzlich willkommen.
Termine
Das Seminar fand Montags von 14-16 Uhr im INF SR 7 statt.
Der restliche Teil als Blockseminar am 12./13. Januar 2018
Bemerkungen
Gute Vorkenntnisse in Linearer Algebra werden vorausgesetzt.
Kenntnisse über Gruppenwirkungen, Differentialgeometrie oder Topologie sind manchmal hilfreich, werden aber nicht vorausgesetzt.
Links:
Seminarankündigung als pdf-Datei.
Vortragsprogramm mit aktuellen Terminen.