Darstellungstheorie endlicher Gruppen (Wintersemester 2016/17)
- Dozent*in: Prof. Dr. Fabian Januszewski
- Veranstaltungen: Vorlesung (0153700), Übung (0153710)
- Semesterwochenstunden: 2+1
Der Aushang zur Vorlesung findet sich hier.
Die Ilias-Seite zur Vorlesung ist jetzt online und die Übungsblätter ebenfalls:
- Übungsblatt 5 - das Weihnachtsübungsblatt (Aufgaben 1 (d) sowie 2 (b) und (d) korrigiert)
Das Skriptum zur Vorlesung:
Termine | ||
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Vorlesung: | Donnerstag 11:30-13:00 | SR 2.58 |
Übung: | Montag 14:00-15:30 (14-tägig) | SR 2.58 |
Lehrende | ||
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Dozent, Übungsleiter | Prof. Dr. Fabian Januszewski | |
Sprechstunde: | ||
Zimmer Kollegiengebäude Mathematik (20.30) | ||
Email: fabian.januszewski@math.uni-paderborn.de |
Eine Darstellung einer Gruppe ist ein Gruppenhomomorphismus
in die Automorphismengruppe eines -Vektorraumes . Eine Darstellung ist also nichts anderes als eine -lineare Aktion von auf .
Man kann sich eine solche Darstellung als eine Linearisierung von vorstellen. Aus dieser Perspektive bildet die Darstellungstheorie eine Brücke zwischen der Linearen Algebra und der Gruppentheorie: Wir können via Linearer Algebra auf verstehen, und zugleich spiegelt die Struktur von als Gruppe wider. Umgekehrt liefert die Struktur von natürlich auch Informationen über .
Diese Brücke zwischen der Linearen Algebra und der Gruppentheorie ist sehr fruchtbar. Die Darstellungstheorie spielt beispielsweise eine fundamentale Rolle in der Klassifikation der endlichen einfachen Gruppen. Sie hat darüber hinaus auch Anwendungen in nahezu allen Gebieten der Mathematik, von der Gruppentheorie über die Algebra bis zur algebraischen Geometrie und Zahlentheorie, von der Kombinatorik bis zur Stochastik, in der Topologie, der Analysis, und sogar der Quantenphysik: die Darstellungstheorie erklärt die Struktur des Wasserstoffatoms.
Die Fouriertransformation ist ein Korollar der Darstellungstheorie lokalkompakter abelscher Gruppen, und die Darstellungstheorie kann als nicht-abelsche Verallgemeinerung der Fourier-Theorie betrachtet werden.
Andrew Wiles' spektakulärer Beweis von Fermat's Letztem Satz wäre ohne Darstellungstsheorie undenkbar gewesen.
In der Vorlesung werden wir uns mit der Darstellungstheorie endlicher Gruppen beschäftigen. In diesem Fall werden wir, unter der Annahme daß die Gruppenordnung von die Charakteristik von nicht teilt, die Darstellungen von vollständig klassifizieren. Wir werden lernen, daß jede Darstellung in eine direkte Summe irreduzibler, d.h. unzerlegbarer zerfällt. Die irreduziblen Darstellungen werden wir anhand der Struktur von tabellieren.
Nachdem wir uns mit der allgemeinen Theorie vertraut gemacht haben, werden wir uns in der Vorlesung konkret der Darstellungstheorie der symmetrischen Gruppe zuwenden. Diese ist sehr gut verstanden, und wir werden, wenn , sämtliche irreduzible Darstellungen bestimmen.
Aus der Linearen Algebra kennen wir bereits eine fundamentale eindimensionale Darstellung der : die Signumsdarstellung
welche jeder geraden Permutation eine 1 und jeder ungeraden Permutation eine -1 zuordnet. Diese ist automatisch irreduzibel. Eine weitere eindimensionale irreduzible Darstellung ist die triviale Darstellung, welche jeder Permutation den Wert 1 zuordnet. Wir werden sehen, daß dies die einzigen beiden eindimensionalen irreduziblen Darstellungen der sind.
Im Allgemeinen stehen die irreduziblen Darstellungn der in natürlicher Bijektion mit den Partitionen
von mit
. Diese Partitionen können durch Young-Diagramme visualisiert werden, und anhand eines solchen Diagrammes läßt sich beispielsweise dank der Henkellängenformel die Dimension der zugehörigen irreduziblen Darstellungen ablesen.
Die beiden uns bereits bekannten eindimensionalen irreduziblen Darstellungen gehören beispielsweise zu den beiden Partitionen
der Länge 1 und
der Länge .
Die Darstellungstheorie endlicher Gruppen bildet den Prototypen für die Darstellungstheorie komplizierterer Gruppen mit Zusatzstruktur (kompakt / Lie- / topologisch / algebraisch, ...), die, wie bereits angedeutet, in vielen verschiedenen Kontexten auftreten.
Sofern noch etwas Zeit am Ende des Semesters verbleibt, werden wir einen fundamentalen Zusammenhang zwischen der Darstellungstheorie der und der (algebraischen) Gruppe kennelernen.