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Fakultät für Mathematik

Karlsruher Institut für Technologie
D-76128 Karlsruhe
Tel.: +49 721 608-43800

Elementare Zahlentheorie (Sommersemester 2006)

Dozent: Priv. Doz. Dr. Hans-Peter Rehm
Veranstaltungen: Vorlesung (1517), Übung (1518)
Semesterwochenstunden: 4+2
Hörerkreis: Mathematik, Informatik (ab 2. Semester)

Die Elementare Zahlentheorie befaßt sich mit den Eigenschaften der ganzen rationalen Zahlen, die man ohne Benützung tieferer Methoden, etwa aus der Funktionentheorie oder der Algebraischen Geometrie, einsehen kann.Sie ist einer der ältesten Zweige der Mathematik. Früher galt die Zahlentheorie als einer der reinsten Teile der Mathematik - man kannte kaum technische Anwendungen - heute ist sie aber Lieferant und Grundlage von Tricks, die man auf dem Computer verwendet.


Die Elementare Zahlentheorie ist
einer der ältesten Zweige der Mathematik. Die Zahlenlehre war für die
Pythagoräer Grundlage ihrer Naturphilosophie, und seither haben die meisten
großen Mathematiker (allen voran C.F.Gauß) Wesentliches beigetragen.
Früher galt die Zahlentheorie als einer der reinsten Teile der Mathematik
- man kannte kaum technische Anwendungen - heute ist sie aber Lieferant und
Grundlage von Tricks, die man auf dem Computer verwendet, wenn man dort mit
Zahlen und Codes effizient umgehen möchte. So ist es auch für Informatiker von
Nutzen, wenn sie zahlentheoretische Denkweisen kennen. Die Vorlesung ist daher als
Ergänzungsfach im Vordiplom für Informatiker empfohlen. Man kann zum Beispiel in
dieser Vorlesung erfahren, worauf die Algorithmen beruhen, mit denen man die
größte bekannte Primzahl berechnet hat. Außerdem werde ich etwas ausführlicher
als in den Lehrbüchern auf die in der Codierungstheorie so wichtigen endlichen Körper
eingehen. Vorlesungsteilnehmer werden auch etwas erfahren über zahlentheoretische Funktionen und Algorithmen, wie sie in Mathematik-Paketen wie etwa MAPLE implementiert sind.

Wie schon der Name sagt, benötigt man für die Elementare Zahlentheorie wenig Vorkenntnisse. Sie kann daher von Mathematik- und Informatikstudenten vom 3. Semester an gehört werden und trägt zu deren mathematischer Allgemeinbildung bei. Methodisch wird vor allem elementare Algebra verwendet; was davon benötigt wird, wird in der Vorlesung bereitgestellt werden.

Texte :

Hier die versprochenen Beweise zum Lemma über euklidische Ringe, die in der Vorlesung
weggelassen wurden:

Als dvi-file euklidr.dvi, als ps-file euklidr.ps und als pdf-file euklidr.pdf.

Weiter das Kapitel der Vorlesung über endliche Körper und den Satz von Chevalley.

Als dvi-file fq.dvi, als ps-file fq.ps und als pdf-file fq.pdf.



Zum Schluss das Kapitel über binäre quadratische Formen:

Als dvi-file qf.dvi, als ps-file qf.ps.

Termine
Vorlesung: Mittwoch 9:45-11:15 Neuer Hörsaal Beginn: 26.4.2006
Donnerstag 15:45-17:15 Neuer Hörsaal
Übung: Mittwoch 15:45-17:15 Chemie-Hörsaal II Beginn: 3.5.2006
Dozenten
Dozent Priv. Doz. Dr. Hans-Peter Rehm
Sprechstunde: Wenn ich da bin.
Zimmer Kollegiengebäude Mathematik (20.30)
Email: hp.rehm@mathematik.uni-karlsruhe.de
Übungsleiter Prof. Dr. Fabian Januszewski
Sprechstunde:
Zimmer Kollegiengebäude Mathematik (20.30)
Email: fabian.januszewski@math.uni-paderborn.de

Übung

Die Übungsblätter finden sich auf einer weiteren Seite.


Inhalt

Geplanter Inhalt, Änderungen vorbehalten.

§1. Primzerlegung

1.1. Faszination Primzahlen: Primzahlsatz (o.Bew.), gelöste
und ungelöste Probleme über Primzahlen

1.2. Elementare Teilbarkeitslehre in integren Ringen

1.3. Primzerlegung in Euklidischen Ringen, Faktorielle Ringe

§2. Zahlentheoretische Funktionen

2.1. Einführung.

2.2 Multiplikative zahlentheoretische Funktionen und die
möbiussche Umkehrformel

§3. Kongruenzen und Restklassenringe

3.1. Grundbegriffe

3.2. Primitivwurzeln (mit Anwendungen)

3.3. Zifferndarstellungen nach Cantor

3.4. Simultane Kongruenzen und Interpolation

3.5 Prime Restklassen mod Primzahlpotenzen.

§4. Endliche Körper und der Satz von Chevalley

4.1. Bestimmung aller endlichen Körper.

4.2 Der Satz von Chevalley.

§5. Das quadratische Reziprozitätsgesetz

5.1. Quadratische Kongruenzen

5.2. Grundaussagen über Potenzreste

5.3. Legendre-- und Jacobisymbol. Das quadratische Reziprozitätsgesetz

§6. Primzahltests

6.1. Primzahltests

6.2. Anwendung auf die Kryptographie

§7. Ganzzahlige lineare Gleichungen und Moduln über euklidischen
Ringen.

7.1. Der Elementarteileralgorithmus

7.2. Ganzzahlige Lösungen eines ganzzahligen linearen Gleichungssystems.

§8. Ganzzahlige binäre quadratische Formen (QF)

8.1. Äquivalenz.

8.2. Darstellung von Zahlen durch eine QF.

8.3. Reduktion von QF und die gaußsche Klassenzahl.

8.4. Automorphismengruppe einer Form und die Pellsche Gleichung.




Prüfung

Die schriftliche Prüfung, studienbegleitend für Mathematiker oder als
Ergänzungsfach zum Informatik-Vordiplom, findet am 13. Oktober 2006 von 9:00 bis 11:00 im Redtenbacherhörsaal statt. Anmeldung bis zum 6. Oktober im Sekretariat bei Frau Hoffmann.

Abgabe von Übungsblättern und der Erwerb eines Übungsscheins
wird wärmstens empfohlen, ist aber nicht unbedingt eine Voraussetzung für
die Teilnahme an den schriftlichen Prüfungen.

Literaturhinweise

Hier finden Sie eine kommentierte kurze Literaturauswahl,
als dvi-file lit.dvi, als ps-file:lit.ps oder als pdf-file:lit.pdf.