Geometric Group Theory (Wintersemester 2007/08)
- Dozent*in: JProf. Dr. Gabriela Weitze-Schmithüsen
- Veranstaltungen: Vorlesung (1030)
- Semesterwochenstunden: 4
- Hörerkreis: Mathematik (ab 5. Semester)
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| Vorlesung: | Dienstag 8:00-9:30 | Seminarraum 11 |
| Mittwoch 14:00-15:30 | Seminarraum 11 | |
Inhalt der Vorlesung
Ziel der geometrischen Gruppentheorie ist es, Gruppen mit geometrischen Methoden zu untersuchen über die folgenden beiden Ansätze:
- Man betrachtet, wie die Gruppe auf einem geeigneten geometrischen Raum operiert.
- Man betrachtet die Gruppe selbst als geometrischen Raum.
Ein erstes Beispiel ist der Cayley-Graph der Gruppe bezüglich eines Erzeugendensystems. Seine Ecken sind die Gruppenelemente und die Kanten werden durch die Erzeuger beschrieben. Dadurch wird die Gruppe zu einem metrischen Raum, auf dem sie selbst in natürlicher Weise operiert. Allerdings hängt der Graph von den gewählten Erzeugern ab. Ein anderes typisches Beispiel, das uns in der der Vorlesung begegnen wird, sind diskrete Untergruppen der Matrizengruppe SL(2,R), die auf der obere Halbebene als Isometrien bezüglich der Poincaré-Metrik operieren. Fortgeschrittene Beispiele sind Zopfgruppen, die Thompson-Gruppe, die Abbildungsklassengruppen und die Automorphismengruppen für freie Gruppen. Jede dieser Gruppen operiert auf einem passenden geometrischen Raum und jede dieser Aktionen ist ein interessantes Thema für sich.
Die beiden oben beschriebenen Zugänge sind durch den Satz von Milnor und Svarc eng miteinander verbunden: Wenn eine Gruppe "anständig" auf einem "guten" metrischen Raum X operiert, dann ist jeder ihrer Cayley-Graphen quasiisometrisch zu X. Grob gesagt, bedeutet das, dass sie von weiter Ferne betrachtet gleich aussehen. Wir werden in der Vorlesung Eigenschaften von Gruppen - und allgemeiner von metrischen Räumen - kennenlernen, die unter Quasiisometrie erhalten bleiben. Eine wichtige solche Eigenschaft ist Gromov-Hyperbolizität. Dieses Konzept verallgemeinert zum Beispiel klassische hyperbolische Geometrie, sowie Bäume und allgemeiner R-Bäume. Aus der Gromov-Hyperbolizität einer Gruppe kann man nette algebraische Eigenschaften ableiten.
Die Vorlesung richtet sich an alle, die sich für Algebra und Geometrie interessieren. Es wird die Vorlesung "Algebra I" vorausgesetzt. Vorkenntnisse in Topologie und hyperbolischer Geometrie sind nützlich, werden aber nicht vorausgesetzt.
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Literaturhinweise
Hier ein paar Referenzen zur Vorlesung:
- M. Bridson, A. Haefliger: Metric spaces of non-positive curvature. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 319. Springer 1999.
- M. Coornaert, T. Delzant, A. Papadopoulos:Géométrie et théorie des groupes. Les groupes hyperboliques de Gromov.(Geometry and group theory. The hyperbolic groups of Gromov). Lecture Notes in Mathematics, 1441. Springer 1990.
- E. Ghys (ed.); A. Haefliger (ed.); A. Verjovsky: Group theory from a geometrical viewpoint. Proceedings of a workshop, held at the International Centre for Theoretical Physics in Trieste, Italy, 26 March to 6 April 1990. Reprint of the 1991 ed.
- E. Ghys, P. de la Harpe (ed.): Sur les Groupes Hyperboliques d'après-Mikhael Gromov. (On the hyperbolic groups a la M. Gromov. (French) Progress in Mathematics, 83. Birkh\"auser 1990.
- C. Leininger/A. Reed: Notes on Geometric group theory. Informal notes: http://www.math.uiuc.edu/~clein/.