Topologie (Wintersemester 2007/08)
- Dozent*in: PD Dr. Stefan Kühnlein
- Veranstaltungen: Vorlesung (1024), Übung (1025)
- Semesterwochenstunden: 4+2
- Hörerkreis: Mathematik, Physik, Informatik (3.-9. Semester)
Die Topologie ist eine der grundlegenden Disziplinen der Mathematik. In dieser einführenden Vorlesung werden wir wichtige topologische Konzepte einführen und einige mathematische Anwendungen kennen lernen.
Im kommenden Sommer gibt es aufabauend auf die Vorlesung ein Seminar über topologische Gruppen. Informationen dazu finden Sie
hier.
| Termine | |||
|---|---|---|---|
| Vorlesung: | Montag 9:45-11:15 | Neuer Hörsaal | Beginn: 22.10.2007, Ende: 13.2.2008 |
| Mittwoch 9:45-11:15 | AOC 101 (30.45) | ||
| Übung: | Mittwoch 15:45-17:15 | Criegée-Hörsaal | Beginn: 24.10.2007, Ende: 11.2.2008 |
| Lehrende | ||
|---|---|---|
| Übungsleiter | Dr. Oliver Bauer | |
| Sprechstunde: | ||
| Zimmer Allianz-Gebäude (05.20) | ||
| Email: | Übungsleiter | PD Dr. Stefan Kühnlein |
| Sprechstunde: Di, 09.00 - 11.00 Uhr | ||
| Zimmer 1.032 Kollegiengebäude Mathematik (20.30) | ||
| Email: stefan.kuehnlein@kit.edu | ||
Eine Topologie auf einer Menge X ist ein nichtleeres System von Teilmengen von X, für das beliebige Vereinigungen und endliche Durchschnitte von solchen Mengen wieder zu dem System gehören. Diese Mengen nennt man dann offen in X.
Unser Ausgangspunkt wird der des metrischen Raums sein, auf dem wie in der Analysis eine Topologie definiert werden kann. Stetige Abbildungen zwischen metrischen Räumen lassen sich topologisch charakterisieren und nehmen keinen Bezug auf eine Metrik. Also können wir diesen Begriff auch auf topologische Räume übertragen. Die Topologie ist - grob gesagt - das Studium der topologischen Räume und der stetigen Abbildungen zwischen ihnen.
Einige Sätze topologischer Natur sind der Zwischenwertsatz, der Jordan'sche Kurvensatz und der Satz vom Igel ("jeder stetig gekämmte Igel hat mindestens einen Glatzpunkt"). Aber auch die Eulersche Polyederformel oder die Existenz des Minimums einer stetigen reellwertigen Funktion auf einem Kompaktum sind topologische Sätze.
Wir werden Konstruktionsverfahren für topologische Räume kennen lernen (Produkttopologie, Verkleben, Zurückziehen der Topologie) und einige Grundaussagen der mengentheoretischen Topologie behandeln. Trennungsaxiome unf filtertheoretische Konstruktionen sollen nicht der zentrale Gegenstand der Vorlesung sein.
Danach sollen einige Aussagen mehr geometrischer Natur im Mittelpunkt stehen. Ganz genau ist das alles noch nicht geplant, aber sehr wahrscheinlich werden wir lernen, was zum Beispiel die Fundamentalgruppe eines topologischen Raums ist, und wie das mit der topologischen Klassifikation der kompakten Flächen zusammenhängt - ein Begriff, der natürlich präzisiert werden wird. Andere Stichworte sind - unter Vorbehalt - Kompaktifizierung, uniforme Räume, topologische Gruppen.
Im Sommersemester 2008 soll es ein auf die Vorlesung aufbauendes Seminar geben. Eine Fortsetzung in Vorlesungsform ist nicht geplant.
Die Übungsblätter finden Sie hier.
Aushänge
Als einen kleinen Beitrag zur Allgemeinbildung stelle ich hier die Konstruktion einer Peanokurve vor.
Und weiter geht es wie versprochen mit einem Steilkurs über Riemannsche Mannigfaltigkeiten.
Hier wird das Lemma von Zorn erklärt und auf das Auswahlaxiom zurückgeführt.
Die versprochene Auslassung zu Kategorien findet sich hier.
Prüfung
Zu der Vorlesung gibt es natürlich eine studienbegleitende Prüfung. Da sich abzuzeichnen scheint, dass sich aufgrund der Teilnehmerzahlen eine Klausur nicht wirklich lohnt, werden wir diese Prüfung in mündlicher Form durchführen.
Literaturhinweise
Es gibt jetzt die hinterletzte Version des Topologieskripts mit Stand vom 28.02.2008. Ich hasse Tippfehler! Aber da war noch eine inhaltliche Ungenauigkeit im Beweis von 2.3.12.
Die folgenden Bücher werden als Begleitlektüre zur Vorlesung empfohlen und werden in der Vorlesungspräsenz der Mathematischen Bibliothek stehen:
- Armstrong, Mark Anthony: Basic Topology; Springer 1983 - Dieses Buch gefällt mir von der Darstellung und der Stoffauswahl her recht gut.
- Alexandroff, Paul / Hopf, Heinz: Topologie, Chelsea 1965 - Das ist ein Klassiker aus der Entstehungszeit der Topologie.
- Bourbaki: General Topology, Springer - Hier wird alles sehr systematisch aufbereitet.
- James, Iaon MacKenzie: Topological and Uniform Spaces; Springer 1987 -
- Jänich, Klaus: Topologie, Springer 1980 - Ein Buch mit sehr instruktiven Illustrationen
- Massey, William:Algebraic Topology: An Introduction; Springer 1987
- Ossa, Erich: Topologie, Vieweg 1992 - Hier muss man ziemlich auf Druckfehler aufpassen
- Schubert, Horst: Topologie, Teubner 1964 - Auch das ist schon ein Klassiker