Algebraische Geometrie I (Wintersemester 2011/12)
- Dozent*in: Prof. Dr. Frank Herrlich
- Veranstaltungen: Vorlesung (0102400), Übung (0102500)
- Semesterwochenstunden: 4+2
- Hörerkreis: Mathematik (alle Studiengänge), Informatik (ab 5. Semester)
Die algebraische Geometrie untersucht mit algebraischen Methoden geometrische Eigenschaften von Nullstellenmengen polynomialer Gleichungssysteme.
Aktuelle Termine
| Datum | Veranstaltung |
|---|---|
| 22.12.2011, 15:45 - 17:15 Uhr |
Die Objekte der algebraischen Geometrie sind die Nullstellenmengen einer oder auch mehrerer Polynomgleichungen in mehreren Variablen. Kreise, Ellipsen und Kegel sind einfache Beispiele. Neben den Lösungsmengen im affinen Standardraum werden für homogene Polynome auch die Nullstellen im projektiven Raum untersucht.
An algebraischen Hilfsmitteln werden in erster Linie Ideale im Polynomring, die zugehörigen Faktorringe und Moduln über solchen k-Algebren benutzt. Die benötigten algebraischen Techniken werden in der Vorlesung entwickelt.
Geometrische Eigenschaften der Nullstellenmengen wie Zusammenhang, Irreduzibilität, Dimension oder die Existenz von Singularitäten lassen sich dann durch algebraische Eigenschaften des zugehörigen "Koordinatenrings" ausdrücken. Grundlage dieser Übersetzung ist der Hilbertsche Nullstellensatz, der das erste Ziel der Vorlesung sein wird.
Voraussetzungen: Algebraische Grundkenntnisse mindestens im Umfang von Einführung in Algebra und Zahlentheorie oder Algebra I werden vorausgesetzt. Wünschenswert sind auch Kenntnisse in Geometrie und/oder Topologie.
| Termine | ||
|---|---|---|
| Vorlesung: | Montag 8:00-9:30 | 1C-01 |
| Mittwoch 8:00-9:30 | 1C-01 | |
| Übung: | Freitag 14:00-15:30 | 1C-03 |
| Lehrende | ||
|---|---|---|
| Dozent | Prof. Dr. Frank Herrlich | |
| Sprechstunde: nach Vereinbarung (am besten per E-Mail) | ||
| Zimmer 1.022 Kollegiengebäude Mathematik (20.30) | ||
| Email: herrlich@kit.edu | Übungsleiterin | Dr. Myriam Finster |
| Sprechstunde: | ||
| Zimmer Allianz-Gebäude (05.20) | ||
| Email: | ||
Übungsblätter
Übungsblatt 1
Übungsblatt 2 mit Teillösung
Übungsblatt 3
Übungsblatt 4 mit Teillösung
Übungsblatt 5 mit Teillösung
Übungsblatt 6 mit Teillösung Achtung: Aufgabe 2 wird auf Blatt 8 verschoben - die Definition von Automorphismus einer projektiven Varietäten kam in der Vorlesung noch nicht vor.
Übungsblatt 7 mit Teillösung
Übungsblatt 8 mit Teillösung
Übungsblatt 9 mit Teillösung
Übungsblatt 10 mit Teillösung
Übungsblatt 11 mit Teillösung
Übungsblatt 12 mit Teillösung
Übungsblatt 13
Übungsblatt 14 mit Teillösung
Inhalt
Ideale im Polynomring, Hilbertscher Basissatz, noethersche Ringe;
affine Varietäten, Verschwindungsideale, Hilbertscher Nullstellensatz.
Morphismen affiner Varietäten.
Projektive Varietäten, homogene Ideale, graduierte Ringe;
rationale Abbildungen, Funktionenkörper.
Reguläre und singuläre Punkte, Jacobi-Kriterium;
lokale Ringe, diskrete Bewertungsringe, Dedekindringe.
Algebraische Kurven, Divisoren, Satz von Riemann-Roch.
Prüfung
Im Anschluss an die Vorlesung besteht die Möglichkeit einer mündlichen Prüfung.