Algebraische Geometrie (Sommersemester 2015)
- Dozent*in: Prof. Dr. Frank Herrlich
- Veranstaltungen: Vorlesung (0152000), Übung (0152100)
- Semesterwochenstunden: 4+2
- Hörerkreis: Mathematik (Master und Lehramt)
Die algebraische Geometrie untersucht mit algebraischen Methoden geometrische Eigenschaften von Nullstellenmengen polynomialer Gleichungssysteme.
Die Objekte der algebraischen Geometrie sind die Nullstellenmengen einer oder auch mehrerer Polynomgleichungen in mehreren Variablen. Kreise, Ellipsen und Kegel sind einfache Beispiele. Neben den Lösungsmengen im affinen Standardraum werden für homogene Polynome auch die Nullstellen im projektiven Raum untersucht.
An algebraischen Hilfsmitteln werden in erster Linie Ideale im Polynomring, die zugehörigen Faktorringe und Moduln über solchen k-Algebren benutzt. Die benötigten algebraischen Techniken werden in der Vorlesung entwickelt.
Geometrische Eigenschaften der Nullstellenmengen wie Zusammenhang, Irreduzibilität, Dimension oder die Existenz von Singularitäten lassen sich dann durch algebraische Eigenschaften des zugehörigen "Koordinatenrings" ausdrücken. Grundlage dieser Übersetzung ist der Hilbertsche Nullstellensatz, der das erste Ziel der Vorlesung sein wird.
| Termine | ||
|---|---|---|
| Vorlesung: | Montag 9:45-11:15 | SR 3.60 |
| Mittwoch 9:45-11:15 | SR 3.60 | |
| Übung: | Donnerstag 15:45-17:15 | 1C-01 |
| Donnerstag 15:45-17:15 | SR 3.60 | |
| Lehrende | ||
|---|---|---|
| Dozent | Prof. Dr. Frank Herrlich | |
| Sprechstunde: nach Vereinbarung (am besten per E-Mail) | ||
| Zimmer 1.022 Kollegiengebäude Mathematik (20.30) | ||
| Email: herrlich@kit.edu | Übungsleiter | Dr. Sven Caspart |
| Sprechstunde: | ||
| Zimmer Kollegiengebäude Mathematik (20.30) | ||
| Email: sven.caspart@kit.edu | ||
Inhalt
Affine Varietäten, Verschwindungsideale, Hilbertscher Nullstellensatz.
Zariski-Topologie; Morphismen affiner Varietäten.
Projektive Varietäten, homogene Ideale, graduierte Ringe;
rationale Abbildungen, Funktionenkörper.
Reguläre und singuläre Punkte, Jacobi-Kriterium;
lokale Ringe, Tangentialraum, Dimension einer Varietät.
Algebraische Kurven, Divisoren, Satz von Riemann-Roch.
Zu der Vorlesung gibt es einen Ilias-Kurs, in dem unter anderem die Übungsblätter bereitgestellt werden.
Prüfung
Die Prüfung findet nach Ende der Vorlesungszeit in mündlicher Form statt.
Die Prüfungstermine können individuell vereinbart werden.
Eine Liste mit möglichen Prüfungsterminen liegt im Sekretariat bei Frau Hoffmann (Zi 1.027).