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Algebraische Geometrie I (Wintersemester 2008/09)

  • Dozent*in: Prof. Dr. Frank Herrlich
  • Veranstaltungen: Vorlesung (1024), Übung (1025)
  • Semesterwochenstunden: 4+2
  • Hörerkreis: Mathematik, evtl. Informatik (ab 5. Semester)

Die Algebraische Geometrie untersucht geometrische Objekte mit Methoden der (kommutativen) Algebra.

Termine
Vorlesung: Mittwoch 8:00-9:30 Seminarraum 34 Beginn: 22.10.2008
Freitag 8:00-9:30 Seminarraum 33
Übung: Montag 14:00-15:30 Seminarraum 34 Beginn: 27.10.2008
Lehrende
Dozent Prof. Dr. Frank Herrlich
Sprechstunde: nach Vereinbarung (am besten per E-Mail)
Zimmer 1.029 Kollegiengebäude Mathematik (20.30)
Email: herrlich@kit.edu
Übungsleiterin Dr. Ute Luhm
Sprechstunde: freitags, 10.00-12.00 Uhr, Zimmer 4A-21.2 (auf der Brücke)
Zimmer Allianz-Gebäude (05.20)
Email: wolf@math.uni-karlsruhe.de

Die algebraische Geometrie untersucht geometrische Objekte, die sich als Nullstellenmengen von Polynomen beschreiben lassen, also
z.B. Kegelschnitte, Kleeblattkurven, Lemniskaten und die Flächen, die bis vor Kurzem in den Vitrinen im 2.Stock des Mathebaus zu sehen waren (nicht hierzu gehören z.B. Würfel, Sinuskurve, Mandelbrotmenge, ...)
Die Methoden der algebraischen Geometrie kommen aus der Algebra, und zwar hauptsächlich aus der Theorie der kommutativen Ringe. Grundlegend für den Zusammenhang von Geometrie und Algebra ist der Hilbertsche Nullstellensatz. Er stellt eine bijektive Beziehung her zwischen den Nullstellengebilden von Polynomen und den zugehörigen Idealen im Polynomring.
Eine Verallgemeinerung besteht darin, dass man solche Nullstellengebilde zu größeren Varietäten 'zusammenklebt'. Insbesondere erhält man so projektive Varietäten, die in der algebraischen Geometrie eine ähnliche Bedeutung haben wie in der Topologie die kompakten Mannigfaltigkeiten. Die algebraischen Objekte, die eine Varietät charakterisieren, sind die Ringe von regulären Funktionen, die zu einer Strukturgarbe zusammengefasst werden.
Weitere Stichworte zum Inhalt der Vorlesung sind Dimension von Varietäten, reguläre und singuläre Punkte, algebraische Kurven, der Satz von Riemann-Roch.

Für das Sommersemester 2009 ist eine Fortsetzung der Vorlesung geplant.

An Vorkenntnissen wird eine gewisse Vertrautheit mit den Grundbegriffen der kommutativen Algebra (wie Primideal, Faktorring, k-Algebra, R-Modul) vorausgesetzt. Wünschenswert ist Algebra II (aus der mehr verwendet wird als aus Algebra I).


Übungen

Die Übungen beginnen in der zweiten Woche, am 27.10.2008.

Die Übungsblätter erscheinen wöchentlich. Abgabe in Zweiergruppen ist erlaubt und erwünscht. Wer am Ende des Semesters mindestens die Hälfte der Punkte hat, erhält einen Schein.

alg-geo-1-blatt-01.ps alg-geo-1-blatt-01.pdf
alg-geo-1-blatt-02.ps alg-geo-1-blatt-02.pdf
alg-geo-1-blatt-03.ps alg-geo-1-blatt-03.pdf
alg-geo-1-blatt-04.ps alg-geo-1-blatt-04.pdf
alg-geo-1-blatt-05.ps alg-geo-1-blatt-05.pdf
alg-geo-1-blatt-06.ps alg-geo-1-blatt-06.pdf
alg-geo-1-blatt-07.ps alg-geo-1-blatt-07.pdf
alg-geo-1-blatt-08.ps alg-geo-1-blatt-08.pdf
alg-geo-1-blatt-09.ps alg-geo-1-blatt-09.pdf
alg-geo-1-blatt-10.ps alg-geo-1-blatt-10.pdf
alg-geo-1-blatt-11.ps alg-geo-1-blatt-11.pdf
alg-geo-1-blatt-12.ps alg-geo-1-blatt-12.pdf
alg-geo-1-blatt-13.ps alg-geo-1-blatt-13.pdf
alg-geo-1-blatt-14.ps alg-geo-1-blatt-14.pdf
alg-geo-1-blatt-15.ps alg-geo-1-blatt-15.pdf

Literaturhinweise

K. Hulek: Elementare algebraische Geometrie. vieweg 2000.
E. Kunz: Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie.
R. Hartshorne: Algebraic Geometry. Springer Grad.~Texts in Math. 52