Algebraische Geometrie (Wintersemester 2016/17)
- Dozent*in: Prof. Dr. Frank Herrlich
- Veranstaltungen: Vorlesung (0102400), Übung (0102500)
- Semesterwochenstunden: 4+2
- Hörerkreis: Master Mathematik, Wirtschafts- und Technomathematik
Die algebraische Geometrie untersucht mit algebraischen Methoden geometrische Eigenschaften von Nullstellenmengen polynomialer Gleichungssysteme.
Die Objekte der algebraischen Geometrie sind die Nullstellenmengen einer oder auch mehrerer Polynomgleichungen in mehreren Variablen. Kreise, Ellipsen und Kegel sind einfache Beispiele. Neben den Lösungsmengen im affinen Standardraum werden für homogene Polynome auch die Nullstellen im projektiven Raum untersucht.
An algebraischen Hilfsmitteln werden in erster Linie Ideale im Polynomring, die zugehörigen Faktorringe und Moduln über solchen k-Algebren benutzt. Die benötigten algebraischen Techniken werden in der Vorlesung entwickelt.
Geometrische Eigenschaften der Nullstellenmengen wie Zusammenhang, Irreduzibilität, Dimension oder die Existenz von Singularitäten lassen sich dann durch algebraische Eigenschaften des zugehörigen "Koordinatenrings" ausdrücken. Grundlage dieser Übersetzung ist der Hilbertsche Nullstellensatz, der das erste Ziel der Vorlesung sein wird.
Die Übung findet donnerstags um 14 Uhr statt (und nicht freitags um 11:30 Uhr, wie ursprünglich angekündigt).
Die erste Übung ist am 27.10.
Zur Vorlesung gibt es einen Iliaskurs. Dort findet man zum Beispiel die Übungsblätter.
| Termine | |||
|---|---|---|---|
| Vorlesung: | Dienstag 8:00-9:30 | SR 2.58 | Beginn: 18.10.2016, Ende: 10.2.2017 |
| Freitag 8:00-9:30 | SR 2.58 | ||
| Übung: | Freitag 9:45-11:15 | SR 0.16 | Beginn: 28.10.2016, Ende: 10.2.2017 |
| Lehrende | ||
|---|---|---|
| Dozent, Übungsleiter | Prof. Dr. Frank Herrlich | |
| Sprechstunde: nach Vereinbarung (am besten per E-Mail) | ||
| Zimmer 1.022 Kollegiengebäude Mathematik (20.30) | ||
| Email: herrlich@kit.edu | ||
Inhalt
Affine Varietäten, Verschwindungsideale, Hilbertscher Nullstellensatz.
Zariski-Topologie; Morphismen affiner Varietäten.
Projektive Varietäten, homogene Ideale, graduierte Ringe;
rationale Abbildungen, Funktionenkörper.
Reguläre und singuläre Punkte, Jacobi-Kriterium;
lokale Ringe, Tangentialraum, Dimension einer Varietät.
Algebraische Kurven, Divisoren, Satz von Riemann-Roch.
Prüfung
Die Prüfung findet nach Ende der Vorlesungszeit in mündlicher Form statt.
Die Prüfungstermine können individuell vereinbart werden.